圆的面积：从历史到课堂-论文.pdf

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1、上海中学数学·2014年第5期圆的面积：从历史到课堂200000上海市共富实验学校高燕胡媛关于数学史对数学教学的价值，学术界已经有命题圆面积等于一条直角边长为圆半径、另过广泛而深入的讨论．从知识目标上说，数学史帮助一条直角边长为圆周长的直角三角形面积．学生理解数学；从过程与方法目标上说，数学史提供设圆的半径为r，周长为C，阿基米德作圆内接了丰富的问题解决方法，可以拓宽学生的思维；从情和外切正行多边形(面积分别为S。和S7。)，根据感、态度和价值观的目标上说，数学史增加学生的学11s。<寺Cr

2、、厶厶更令人愉悦、更激动人心，揭示出数学作为人类文化中国汉代数学名著《九章算术》中记载了正确的活动的本质．这些价值在数学课堂上究竟能否实现?圆面积公式：“半周半径相乘，得积步．”即圆面积等笔者在沪太路教育发展区项目“HPM与初中数学于半周乘以半径．这个公式怎么来的?三国时代布教师专业发展”的引领下，在六年级上学期“圆的面衣数学家刘徽给出了证明．积”的教学中融人数学史，通过课堂观察、问卷调查和访谈，收集学生的反馈信息，并结合专家和听课教师的反应，得出结论，从而对上述问题作出回答．箴珍．1圆面积公式的历史尽管古代巴比伦人和埃及人在丈量土地时遇到了圆面积问题，但他们并没有准确的圆面积

3、计算公留p‘式．根据泥版YBC7302上的记载，圆面积和圆周长图2圆内接2n边形由"个筝形组成1之间的关系为5一去C!．而古埃及纸草书上记载的如图2，圆内接正2行边形的面积是由行个筝形圆面积计算公式是S—f娶11一萼等．(即四边形0ADB)组成的，而每一个筝形的面积为＼了／．0111在古希腊，求圆面积(即“化圆为方”)乃是三大寺口。R，故得S：。一÷nn。R．刘徽说：“割之弥细，所失厶厶几何难题之一．公元前5世纪，著名哲学家阿那克萨弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所哥拉为追求真理而放弃财产，身陷囹圄，在铁窗下依失矣．”用今天的数学语言来说，这就是：然研究“化圆为方

4、”问题，可见这个问题的魅力．著名辩士、诗人安提丰首次采用圆内接正多边形来解决11S—limS2。一lim寺na。R一÷CR．"一””二(‘‘“化圆为方”问题．如图1，从圆内接正方形出发，不断倍增边数，安提丰说，当边数无限多时，圆就被化17世纪誉满欧洲的天文学家和数学家开普勒成了方，即求出了圆面积．虽然这只是空中楼阁，但在第二次婚姻的婚礼上，在思考酒桶体积算法时，首安提丰的逼近思想为后来的阿基米德所采用．先想出了圆面积的计算方法．如图3，将圆分割成无数个顶点在圆心、高为半径的小“三角形”(其实是小扇形，但圆分得越细，小扇形越接近三角形)．将这些小“三角形”都转变成等底等高的三角形

5、，最后，它们◎o构成了一个直角三角形．图1安提丰的“化圆为方”方案欧几里得在《几何原本》中给出命题：两个圆的面积之比等于它们的直径之比，但他并没有给出圆面积的计算公式．阿基米德(公元前287～公元前212)最早给出圆面积的准确公式．图3开普勒求圆面积的法2上海中学数学·2014年第5期即S一∑丢∥一丢Cr一∥zD2历史材料的选择{将数学史融人数学教学，必须遵循以下原则．ABCDEF(1)趣味性．教学内容应让学生觉得有趣才行，应该讲述数学背后的故事(当然，不能占太多时间)．图4等底等高的三角形面积相等(2)科学性．教学内容应符合史实，而不是胡乱何画板不易实现，也不易为六年级学生所

6、理解．有鉴编造，数学上不能有错误．于此，教师将圆内接正，z边形中的每一个小三角形(3)有效性．不是为数学史而数学史，而是为有各进行等积变换，并将它们依次拼接起来，最后形成效地完成三维目标而应用数学史．一个与圆内接正咒边形等积的直角三角形．将圆分(4)可接受性．教学设计一定要符合学生的认割得越来越细，即当竹越来越大时，直角三角形的一知基础，易于为学生接受．条直角边越来越接近圆的半径，另一条直角边越来(5)创新性．HPM视角下的教学设计必须有新1越接近圆的周长，从而得出圆面积公式S一去Cr一意、有特色，对教师专业发展起引领作用．厶基于这些原则，考查圆面积的历史素材．首先，丌r2．如

7、图5、6所示．学生已经学过圆周长概念，教学中需要让学生看到：(4)例题、练习．仅仅知道周长还不够，还需要计算面积．其次，如何(5)小结．计算圆面积?阿基米德、刘徽的方法对六年级学生而言都太难，并不适合于教学；书本上的方法容易让学生产生“圆面积公式为近似公式”的误解，但拼法简单易懂．经过讨论，笔者决定兼用书本上的方法和开普勒的方法．选择开普勒的方法可以体现上述原则：开普勒求圆面积的故事满足了教学的“趣味性”；开普勒求圆面积的方法与阿基米德、刘徽等数学家的方法一脉相承，符合人的认知规律，满足“科