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1、第5卷第1期沈阳工程学院学报(自然科学版)Vol5No12009年1月JournalofShenyangInstituteofEngineering(NaturalScience)Jan.2009利用凸函数的性质证明几何命题费绍金(宿迁学院,江苏宿迁223800)摘要:利用凸函数的Jensen不等式,证明三角形中有关内角和边的几个不等式,以及在圆的所有内接多边形中,以正多边形的面积最大;在圆的所有外切多边形中,以正多边形的面积最小.关键词:凸函数;Jensen不等式;三角形;圆;命题中图分类号:O17413文献标识码:A
2、文章编号:1673-1603(2009)01-0094-03[1]凸函数有许多等价的定义和性质,这些定义和(a,b),i=1,2,,n.必有[2]性质在不等式证明中有着广泛的应用.在利用定义x1+x2+xnnf(x1)f(x2)f(xn)[f()]和性质证明不等式时,关键是如何巧妙地构造出解决n问题的凸函数,这样就会使复杂的问题迎刃而解.式中,当且仅当x1=x2==xn时取等号.证明因为f(x1),f(x2),,f(xn)0,所以由1凸函数的定义与性质几何-算术平均不等式可得[3]nf(x1)+f(x2)++
3、f(xn)定义设f为定义在区间I上的函数,若对I上f(x1)f(x2)f(xn)n的任意2点x1、x2和任意实数(0,1),总有f(x1+又由于f为凹函数,故由推论知(1-)x2)f(x1)+(1-)f(x2),则称f为I上的f(x1)+f(x2)++f(xn)x1+x2+xn凸函数.反之,如果总有f(x1+(1-)x2)f(x1)+fnn(1-)f(x2),则称f为I上的凹函数.所以,[3]引理1设f为区间I上的二阶可导函数,则在x1+x2+xnnI上f为凸(凹)函数的充要条件是f(x)0(f(x
4、)f(x1)f(x2)f(xn)[f(n)]0),xI.式中,当且仅当x1=x2==xn时取等号.[4]引理2(Jensen不等式)若f为[a,b]上凸函n2主要结果数,则对任意xi[a,b],i>0,i=1,2,,n,i=i=1凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由nnJensen不等式体现的,因为每一个凸函数都有一个1,有f(ixi)if(xi),式中当且仅当x1=i=1i=1Jensen不等式,因而它在不等式证明中有着广泛的应x2==xn时取等号.若f为上凹函数,只需把用,利用它可以推出需要的不等
5、式,这些不等式可以把改为.复杂的证明过程简单化,收到事半功倍的效果.[4]推论若f为区间I上凸函数,则x1,x2,xnI,21证明三角形中有关内角和边的不等式必有有关三角形内角和边的不等式,证明过程需要应fx1+x2+xnf(x1)+f(x2)++f(xn)用大量的三角恒等式和技巧,一般都比较繁琐.结合不nn等式和三角形性质,选取合适的凸函数,利用其性质构式中,当且仅当x1=x2==xn时取等号.若f为上造出所需不等式,这样可以简化证明过程.凹函数,只需把改为.33命题1在ABC,有sinA+sinB+sinC
6、,引理3若f0且f为(a,b)凹函数,则对任意xi2收稿日期:2008-05-19作者简介:费绍金(1974-),男,江苏宿迁人,讲师.第1期费绍金:利用凸函数的性质证明几何命题95333=23.sinAsinBsinC.8sin3证明取f(x)=sinx,x(0,),则f(x)=因为a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,所以-sinx<0.由引理1知f(x)在(0,)是凹函数.而A,111111B,C(0,),A+B+C=.由引理2及其推论得++=++=abc2RsinB2RsinB2Rsin
7、CA+B+C33sinA+sinB+sinC3sin=3sin=.111113332(++)23=2RsinAsinBsinC2RR3A+B+C由引理3得sinAsinBsinCsin=3当且仅当A=B=C=时取等号.3333(sin)=,当且仅当A=B=C=时上述不22证明圆的内接和外切多边形面积的最值问题383命题2在一个圆的所有内接多边形中,正多边等式取等号.形的面积最大.由命题的证明方法,可以类似证明以下的结论:证明如图1,n边形A1A2An是圆O的内接多ABC3在ABC中,有sin+sin+sin,边形
8、,圆O的半径为r,连接A1O,A2O,,AnO.2222ABCABCcos+cos+cos3cos+cos+cos22222233.8在三角形
