［推荐］运用凸函数性质证明不等式

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1、运用凸函数性质证明不等式(何仲永浙江诸暨轻工技校311800)摘要：本文仅从函数图像的凹凸性角度证明一些常见的不等式，在明确函数凹凸性性质的基础上，用具体例子加以例析。关键词：函数；凹凸性；不等式；证明。不少不等式的证明，看起来很难，但运用fl凸函数性质证明，对以少走弯路，使解题更合理些。凸函数性质:1•如果y=f(x)在［a,b］上是上凸函数,设占那么/(凹)/3)+/的2222•如果y=f(x)在［a,b］上是下凸函数,设xi在(a,b)内，那么v/匕)+/(兀2)+・・・+于(乙)n当R仅当，f(x)为常数函数时，等号

2、成立。(证明从略)a+b那么广(¥)“(°)+弘)2•如果y=f(x)在［a,b］上是下凸函数,设凸函数的性质在理论上很重要，它有吋是证明不等式的有力工具，仅举儿例加以说明。例1：在AABC中，求证：A+B•cos4—B92A+B/cosIA—B22A+BcosAcosB222=2sin=2sin=4sin=4cos+sin（+cosAB对称,当H.仅当f(x)为常数两数时，等号成立结论：上凸函数函数值的平均不大于平均的函数值；下凸函数函数值的平均不小于平均的的函数值。特别是简单的初等函数，它的上凸与下凸可以直观从图像中看出

3、，当然也町以从二阶导数来判别：/7x)<0=>/(x)为上凸的函数；fx)>0=>/(x)为下凸的函数。将上而的性质加以推广1.如果y=f(x)在［a,b］上是上凸的函数,设xi在(a,b)内，那么2sin/4+sinB+sinC<—V32证明一：sinA+sinB+sinC4BCcos—+cos—+cos42223令c为定角：ABCcos■卜cos—+cos—?27A*=2A+BA—BCCOScos—+cos442=2CABCcoscos—+cos442TT—CCc为定角，coscos-为定值，要使42ABCcos—+c

4、os—+cos—222为最大值，只冇当A二B时才成立，由于A.B.CABCcos—+cos—+cos——222有最人值，当且仅当A二B二060°时才能达到ABcos—+cos—+cos22sinA+sinB+sinc<4()3下面肓接应用ini函数性质证明当A=B=C=D时sinA+sinB+sinC+sinD最大值为2^2同样更一般的题目：已知A

5、+A?+…+An=7i,证法二：如图三，A.B.Ce（0.7T）y二sinx为上凸函数，因此有上凸函数值平均不大于平均的函数值的结论ji则sinA,+sinA2+•••+sinAn

6、=兀，A,B,C,Dw（0.兀）求sinA+sinB+sinC+sinD的极大值。用一般三角函数变换，几乎不能很快达到目的，使用上凸函数性质，解法简捷。/.sinAj+sinA2+…+sinf•A]+A2+…+A<7isin.兀=nsin—n例2.已知ai>0(I=l,2…n

7、),求证坷+……+4血石云•••A+B+C+D=龙，A.B.C.De(0,^)y=sinx为上凸函数，故冇sinA+sinB+sinC+sinD“.A+B+C+Q0,y=lnx为上凸函数，就有In®+1叫+・・・+lna“<山（⑷+勺+•••+%）nntI,/色+—+…+乙、In训卍2§ln(=)n——/d]+d°+…+d“、才…鑫5(—证明：当OVXV号，考察函数y二Incosx图像是上凸还是卜-凸？可

8、以和求导或描图，求导：y=lncosxy‘=-tanxyzr=-sec2x<0因此有函数值的平均不人于平均的函数值，所以类似这样问题：已知lgCOS^!4-lgcosx2+・・・+lgCOSX“V=(cos60°)5132ARC在AABC中，cos—cos—cos一的极大值问题222ARC可套用上述结论:v-,-,-e(0^)222ABCABC八I+I+/.cos—cos—cos——<(cos———-——)22237T当心AC盲，即为正三角形时，乘积cos-cos-cos-有极大值为壬32228A.w(0°」80°)(i=12

9、345,).且A1+A2+A3+A4+A.5二300",求cosAicosA^cosAacosAtcosAs的最人值。可套用上述结果，用凸函数理论顺利解决TcosA}cosA2cosA3cosA4cosA5<(加2+?+儿+知/.lg(COSX]cosx2...cosxz?)