运用凸函数性质证明不等式.docx

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1、运用凸函数性质证明不等式(何仲永浙江诸暨轻工技校311800)摘要:本文仅从函数图像的凹凸性角度证明一些常见的不等式，在明确函数凹凸性性质的基础上，用具体例子加以例析。关键词：函数；凹凸性：不等式；证明。a+b"T"那么佇)<不少不等式的证明，看起来很难，但运用凸函数性质证明，可以少走弯路，使解题更合理些。凸函数性质：1.如果y二f(x)在［a,b］上是上凸函数，设“畔那么/(凹)/«)+〃)2222•如果y=f(x)在［a,b］上是下凸函数,设当且仅当f(x)为常数函数时，等号成立2.如果y=f(x)在［a,b］上是下凸函数，设xi在(a,b)内,那么/州+心+・..+X“］v/(坷)+

2、/匕2)+...十/(心)当且仅当，f(x)为常数函数时，等号成立。(证明从略)凸函数的性质在理论上很重要，它有时是证明不等式的有力工具，仅举几例加以说明。例1：在AABC中，求证：sinA+sinB+sinC<—V32证明一：sinA+sinB+sinC・cos+cos结论：上凸函数函数值的平均不大于平均的*1数值；下凸函数函数值的平均不小于平均的的函数值。特别是简单的初等函数，它的上凸与下凸可以直观从图像中看出，当然也可以从二阶导数来判别：fx)V0n/(x)为上凸的函数；/7%)>0=>/(兀)为下凸的函数。将上面的性质加以推广1•如果y=f(x)在［a,b］上是上凸的函数，设xi

3、在(a,b)内，那么/E+勺+•••+£］>.心)+.心2)+…+/(兀)=2sin・A+B・cosA—B+sin(A+B)22=2sinA+B/cosIA—B+cosA+B)222)=4sinA+BcosA・cosB222=4cosA■9JcosBTcosC_T<4cos4TB+cos—+cos23一T3令C为定角:ABcos—+cos—+cos22C~2=2cos=2cos匸工・cos—A+cosJ442TT—CCc为定角，cos,cos—为定值，要使42ABCcos——cos—+cos—222为最大值，只有当A二B时才成立，由于A.B.C,.ABC222有最人值，当且仅当A-B-C=

4、60°时才能达到.人BC/3匠2222A]+A2+•••+&,=7iApA2r--AnG(0,71)汕3sinA+sinB+sinc<4()3=—V332卜•面直接应用凸函数性质证明同样更一般的题目：已知证法二：如图三，A.B.Ce(0,7i)y二sinx为上凸函数，因此有上凸函数值平均不大于平均的函数值的结论7T贝iJsinA,+sinA2+•••+sinAn

5、+sinc<2证毕改A+B+C+Z)=,A,B,C,Dw(0.71)求sinA+sinB+sinC+sinD的极大值。用一般三角函数变换，儿乎不能很快达到目的，使用上凸函数性质，解法简捷。如果题目sinA(+sinA2+•••+sinAn.A

6、+A°+・・・+A”0(I=l,2-n),求证az+…+—何厂玄tA+B+C+D=tt,ByCw(0,tt)y=sinx为上凸函数，故有sinA+sinB+sinC+sinD.A+B+C+D

7、卩U：当x>0,y二lnx为上凸函数，就有lnt/j+lna2+・・・+lna“+a2+•••+%)n,/,/Q[+a°+・・・+d”、In/ala2

8、.4-lgCOSXnvn,x.+x9+...+xnlgcos•lg(COSXjcosx2...cosxn)<]g(C°s"+"2+5)〃nz尢[+兀2+Xnx/：/.COS%!cosx9cosxZJ<(cos)nABC在△ABC中，cos—cos—cos一的极人值问题2227T当A=B=c=-,即为正三角形时，乘积3cos-cos-cos-有极大值为巫2228类似这样问题：已知A】w(0°,180°)(心12345)且