现代数学与中学数学考试卷a卷 (1).doc

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1、研究生课程进修班试卷封面姓名：徐竞单　　位河南驻马店平舆县第一高级中学专业：数学考试科目：现代数学与中学数学考试分数：2011年12月29日东北师范大学研究生课程进修班考试试卷评分表课程名称现代数学与中学数学姓名徐竞单　　位河南驻马店平舆县一高专业数学2011年12月29　日题号分数签名12345678910总分评阅教师签字：年月日现代数学与中学数学考试卷一、(10分)对下列各式，判断其对错，或加以证明，或举出反例（1）（2）解：（1）令则（2）设的定义域分别为A、B、C，对二、（10分）若函数在点可导，计算（1）（2）解：（1）（2）三、（10分）求一函数，其曲线过坐

2、标原点且曲线上每一点切线斜率是该点横坐标的2倍。解：由题意，即①①式两边积分，有又过点，从而C=0四、（10分）证明：若，则解：记，由于，故在上连续，在内可导。由拉格朗日中值定理存在，有，即，同理存在，有又在上递减，，，也就是：五、（10分）求顶点在坐标原点的锥面与平面所围成的锥体的体积。解：任取，过点作垂直于轴的平面，截面为椭圆，其方程为，截面面积故六、（10分）甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.3,0.6。今各投2次。求甲比乙投中次数多的概率。解：设甲、乙两人各投篮两次，投中的次数分别为，则，。甲比乙投中次数多的概率为0.1248。七、（10分）要研究某种物质致癌

3、性质，用小白鼠做试验。假定把50只小白鼠随机地分成10组，每组5只，对每只小白鼠注射该物质，经过一段时间后，观察每组小白鼠患癌的个数，得到，则，这里就是这种物质致癌的概率。试导出的最大似然估计值的计算公式。解：由有：现有样本，故似然函数为①①式两边取自然对数，得：两边对求导，得：令，解得的最大似然估计值的计算公式为八、（10分）甲同学在他的盒子中放了200个玻璃球（盒子中黑球、白球究竟各有多少他并未告诉其他任何人），甲同学当众宣布：他的这些球中黑球所占比例p=3%，乙同学从甲同学的盒子中任意取若干个球（比如：10个），观察并记录取到球的颜色。该实验的结果有多种可能。（1

4、）假如乙同学发现他任取的10个球中2个黑球，问此时乙同学能否相信甲同学的说法？（2）假如乙同学发现他任取的10个球没有黑球，问此时乙同学对甲同学的说法又应做何反应？解：（1）、把甲同学的说法当作一种假设，即令H0：p=3%，假定p=3%真确，这时200个球中的黑球数应为6，用我们在概率中学过的方法，来计算任取10个球中至少有2个是黑球的概率。令表示任取10个球中恰有个黑球这一事件的概率，则=P{“乙同学所取的10个球中无黑球”}=P{“乙同学所取的10个球中恰有一个黑球”}=0.237451于是1－－=1－0.732140－0.237451=0.030409。上述结果表

5、明，若甲同学所说的200个球中黑球所占比例为3%为真的话，则任取10个球，出现至少2个黑球的概率为0.030409。这样的抽样做100回，遇到这种情况（至少取到2个黑球）将不到4回，现在，只做一回抽样（乙同学取10个球）就遇上了这种罕见的事情，这和实际推断原理断定的结果：小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的，产生了矛盾，究其原因，产生这种矛盾的根源在于甲同学的说法p=3%，因此乙同学应该拒绝假设H0：p=3%，认为甲同学的200个球中黑球所占比例将远大于3%，从而拒绝甲同学的说法，认为甲同学宣称的200个球中黑球所占比例为3%不可信。（2）、如果乙同学任取的10个

6、球中没有黑球，全是白球的话，则乙同学只好承认甲同学宣称的200个球中黑球所占比例为3%可能是可信的。九、（10分）用选主元素的Gauss消元法求解请指明消元、回代过程。解：做（第i个方程）+（第1个方程），。完成第一步消元得：做第三个方程+第二个方程，完成第二步消元得：回代求得：所以原方程组的解为十、（10分）使用二分法求解于[1,2]内的根，二分3次即可。解：记，，在区间（1，2）内有零点，记为。取区间（1，2）的中点，，所以;取区间（1，1.5）的中点，，所以;取区间（1.25，1.5）的中点，，所以所以的近似解为1.375.