实数培优专项训练.doc

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1、妥善保管，反复演练------数学是思维的体操第二章：实数知识过关与难点突破（一）基础知识过关【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2，（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定

2、是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.03……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号）（2）有五个数:0.…,0.…,-,,其中无理数有()个【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，

3、记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即。特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若有意义，则被开方数a是非负数（易忽略的考点）（2）算术平方根本身是非负数。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：（认真理解这段话，严格区别这两个概念，否则会经常出错）例：（1）下列说法正确的是（）A．1的立方根是；B．；（C）、的平方根是

4、；（D）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A、B、C、D、（3）的算术平方根是。（4）若有意义，则___________。妥善保管，反复演练------数学是思维的体操（5）已知△ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。（6）（提高题）如果x、y分别是4－的整数部分和小数部分。求x－y的值.平方根：1.定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方（也叫二次方根），记做：2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，它是0本身；（3）负数没有平方根例（1）若的平方根是±2，则x=　；的

5、平方根是（2）当x时，有意义。（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？3.（这两个公式是难点，也是易忽略点）（1）（2）中，a可以取任意实数。如，例：1.求下列各式的值（1）（2）（3）2.已知，那么a的取值范围是　。3.已知2＜x＜3,化简　。【立方根】1.定义：一般地，如果以个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）记为，读作，3次根号a。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。（同号性、唯一性）立方根是它本身的数有0,1，-

6、1.3.根据立方根的同号性和唯一性，容易证明：，，例：（1）64的立方根是           （2）若，则b等于           （3）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。妥善保管，反复演练------数学是思维的体操其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【估算】1.用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。注意，估算得到的数是无理数一定精确度的近似值！2.“精确到”与“误差小于”的

7、区别：精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。通常考察精确到十分位或整数位的情况。3.无理数的小数部分：先估算出整数部分，再用该数减去它的整数部分，得到的差就是小数部分。注意，这样的得到的小数部分是非常精确的，不是估算值。如。4.熟记20以内的数的平方和10以内的数的立方，有利于快速进行开方计算，对估算也有帮助。例：估算下列各数的大小（1）（2）（3）用估算的方法比较数的大小用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比