解析几何综合题.doc

《解析几何综合题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、解析几何综合题1．(2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，

2、AF1

3、＝3

4、F1B

5、.(1)若

6、AB

7、＝4，△ABF2的周长为16，求

8、AF2

9、；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．【解】　(1)由

10、AF1

11、＝3

12、F1B

13、，

14、AB

15、＝4，得

16、AF1

17、＝3，

18、F1B

19、＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，

20、AF1

21、＋

22、AF2

23、＝2a＝8.故

24、AF2

25、＝2a－

26、AF1

27、＝8－3＝5.(2)设

28、F1B

29、＝k，则k＞0且

30、AF1

31、＝3k，

32、AB

33、＝4k.由椭圆定义可得，

34、AF2

35、＝

36、2a－3k，

37、BF2

38、＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得，

39、AB

40、2＝

41、AF2

42、2＋

43、BF2

44、2－2

45、AF2

46、·

47、BF2

48、cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.于是有

49、AF2

50、＝3k＝

51、AF1

52、，

53、BF2

54、＝5k.因此

55、BF2

56、2＝

57、F2A

58、2＋

59、AB

60、2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.2．(2014·全国大纲高考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交

61、点为Q，且

62、QF

63、＝

64、PQ

65、.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【解】　(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝.所以

66、PQ

67、＝，

68、QF

69、＝＋x0＝＋.由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，x1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，

70、AB

71、＝

72、y1－y2

73、

74、＝4(m2＋1)．又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.-4-将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．故MN的中点为E(＋2m2＋3，－)，

75、MN

76、＝

77、y3－y4

78、＝.由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于

79、AE

80、＝

81、BE

82、＝

83、MN

84、，从而

85、AB

86、2＋

87、DE

88、2＝

89、MN

90、2，即4(m2＋1)2＋(2m＋)2＋(＋2)2＝，化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.3．(2014·浙江温州适

91、应性测试)如图所示，抛物线C1：x2＝4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆C2：＋＝1相交于C，D两点．(1)求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；(2)设点P到直线AB的距离为d，试问：是否存在直线AB，使得

92、AB

93、，d，

94、CD

95、成等比数列？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．【解】　(1)抛物线C1的焦点F(0,1)，椭圆C2的左焦点F1(－，0)，则

96、FF1

97、＝.(2)设直线AB：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由得x2－4kx－4m＝0，故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m.由x2＝

98、4y，得y′＝，故切线PA，PB的斜率分别为kPA＝，kPB＝，再由PA⊥PB，得kPAkPB＝－1，即·＝＝＝－m＝－1，故m＝1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F.由得x＝＝2k，-4-y＝·2k－＝kx1－＝·x1－＝＝－1，即P(2k，－1)．于是点P(2k，－1)到直线AB：kx－y＋1＝0的距离d＝＝2.由得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0，从而

99、CD

100、＝＝，同理，

101、AB

102、＝4(1＋k2)若

103、AB

104、，d，

105、CD

106、成等比数列，则d2＝

107、AB

108、·

109、CD

110、，即(2)2＝4(1＋k2)·，化简整理，得28k4＋36k2＋7＝0，此方程无实根，所以不存在直线AB，使得

111、AB

112、，

113、d，

114、CD

115、成等比数列．4．(2014·江西南昌一模)已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，过椭圆C的右焦点F2(1,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，W＝.试判断W是否为定值？若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由．【解】　(1)椭圆C的右焦点坐标为(1,0)，∴c＝1，椭圆C的左焦点坐标为(－1,0)，可得2a＝＋＝＋＝4，解得a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1