导数综合素质检测.doc

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1、导数综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知二次函数y＝ax2＋(a2＋1)x在x＝1处的导数值为1，则该函数的最大值是(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.[答案]　B[解析]　y′＝2ax＋a2＋1，∵y′

2、x＝1＝2a＋a2＋1＝1，∴a2＋2a＝0，a＝0或a＝－2，又∵a≠0，a＝－2，y＝－22＋，∴函数的最大值为，故选B.2．曲线y＝x3的切线中斜率等于1的直线(　　)A．不存在B．存在，

3、有且仅有一条C．存在，有且恰有两条D．存在，但条数不确定[答案]　C[解析]　y′＝(x3)′＝3x2，令3x2＝1，得x＝±，切点为或，故选C.3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0[答案]　A[解析]　考查斜率与导数及直线方程基本知识．因为y′＝4x3，由y′＝4得x＝1.而x＝1时y＝1，故l方程为4x－y－3＝0.4．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x

4、0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调减区间为(　　)A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2)D．[2，＋∞)[答案]　B[解析]　由导数几何意义知，在(－∞，2]上f′(x)<0，故单调递减．5．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x的单调区间为(　　)A．(－∞，＋∞)B．(－∞，－1)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)[答案]　A[解析]　f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0对x∈R恒成立，所以f(x)＝x3＋3x2＋3x在R上为增函数，故选A.6．若对于任意x，

5、有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数为(　　)A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4＋2[答案]　B[解析]　把答案代入验证，排除A、C、D，故选B.7．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为(　　)A．20B．9C．－2D．2[答案]　C[解析]　由题意得y′

6、x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，又点(2，－1)在抛物线上，∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C.8．已知f(x－1)＝2x2－x，

7、则f′(x)等于(　　)A．4x＋3B．4x－1C．4x－5D．4x－3[答案]　A[解析]　∵f(x－1)＝2x2－x，令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝2(t＋1)2－(t＋1)＝2t2＋3t＋1，∴f(x)＝2x2＋3x＋1，∴f′(x)＝4x＋3，故选A.9．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值范围是(　　)A．m<2或m>4B．－4

8、15m2－2m－7，由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28＝4(m2－6m＋8)≤0，∴2≤m≤4，故选D.10．函数f(x)＝x2＋(2－a)x＋a－1是偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程是(　　)A．y＝2xB．y＝－2x＋4C．y＝－xD．y＝－x＋2[答案]　A[解析]　考查利用导数确定切线方程．由f(x)为偶函数得a＝2，即f(x)＝x2＋1，从而f′(1)＝2.切点(1,2)，所以切

9、线为y＝2x.11．设函数f(x)的图象如图，则函数y＝f′(x)的图象可能是下图中的(　　)[答案]　D[解析]　由y＝f(x)图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.12．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴，直线x＝π所围成的三角形的面积为(　　)A.B．π2C．2π2D.(2＋π)2[答案]　A[解析]　y＝xsinx在处切线为y＝－x，所围成的三角形面积为.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a

10、>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．[答案]　[解析]　f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，令f′(x)>0得x>a或x<－a，令f′(x)<0得－a0，∴2a3＋a>0，当x＝a时，f(x)取极