2006年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含解答).doc

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1、试题录入　天津市武清区大良中学　杨凤国二OO六年全国高中数学联合竞赛（天津初赛）（9月17日上午9：00～11：00）一、选择题（本题共5个小题，每小题6分满分30分）（1）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（）（A）　　　　（B）　　　（C）　　　（D）（2）已知，，若，则与的大小关系是（　　）（A）　　　　（B）　　　（C）（D）不确定（3）已知一条直线与双曲线（）的两支分别相交于、两点，为原点，当时，双曲线的中心到直线的距离等于（）（A）　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）（4）已知为四面体的侧面内的一个动点，且点与顶点

2、的距离等于点到底面的距离，那么在侧面内，动点的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是（）（A）圆或椭圆　（B）椭圆或双曲线（C）双曲线或抛物线（D）抛物线或椭圆（5）已知集合是集合的子集，且对任意，都有，则集合中的元素最多有（）（A）67个　　　　（B）68个　　　　（C）69个　　　　　（D）70个二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）（6）已知椭圆（），长轴的两个端点为、，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围是．第7页共7页试题录入　天津市武清区大良中学　杨凤国（7）在中，，，分别表示它的斜边长，内切圆半径和

3、面积，则的取值范围是．（8）已知集合，且，则集合、、所有可能的情况有种．（9）已知，，是平面上三个不同的点，且满足关系式，则实数的取值范围是．（10）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于．（11）已知都是偶数，且，，若成等差数列，成等比数列，则的值等于．三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（12）已知数列满足，，，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小．第7页共7页试题录入　天津市武清区大

4、良中学　杨凤国（13）已知、是关于的二次方程的两个根，且，若函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）对任意的正数、，求证：．第7页共7页试题录入　天津市武清区大良中学　杨凤国（14）将，，…，这个数未填入如图所示的正方形中的小方格内，每个小方格内填一个数，使每一行，每一列的各数之和各不相等且均能被正整数（）整除．（Ⅰ）求的所有可能的值；（Ⅱ）给出一种符合题意的具体填法（此填法适用于的所有可能值）．第7页共7页试题录入　天津市武清区大良中学　杨凤国二00四年全国高中数学联合竞赛（天津初赛）试题参考答案及评分标准一、选择题（本题共5个小题，每小题6分满

5、分30分）（1）D　　（2）A　　（3）A　　（4）D　　（5）A二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）（6）（7）　（8）500　（9）（10）　（11）194三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）（12）【解】令，由题设，有，且…………5分于是，即．∴．　　　（※）　　　…………………………………10分又，，则．∴当的值最小时，应有，，且．即，．　　　………………………………………15分由（※）式，得由于，且，解得，∴当时，的值最小．　　……………………………………………20分（13）【解】（Ⅰ）由书籍

6、，根据韦达容不得有，，第7页共7页试题录入　天津市武清区大良中学　杨凤国，∴　　　　………………………………………5分（Ⅱ）已知函数，∴而且对，，于是，∴函数在上是增函数　　　……………………………………………10分注意到对于任意的正数、，即，同理．　　　　………………………15分∴，，．于是，∴．而，∴．　　　……………………………………20分（14）【解】（Ⅰ）设，（）分别是第行，第列各数的和，第7页共7页试题录入　天津市武清区大良中学　杨凤国由题意得，，其中，，是8个彼此不同的正整数，因为，所以得．　　　　　　　　　　　　　　　

7、　……………………………………………10分由是的倍数得是的倍数，即是的倍数．即，又，，因此的可能值为或．　　　……………………15分（Ⅱ）符合题意的一种具体填法如图所示．　　　…………………………………………20分第7页共7页