2020届高考数学（理）“大题精练”（10）含答案.docx

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1、2020届高三数学（理）“大题精练”1017．在中，角所对的边分别为，；（1）证明：为等腰三角形；（2）若为边上的点，，且，，求的值．18．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19．已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.20．已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间上有零点，求的值；21．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人

2、数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：第年12345678910旅游人数（万人）300283321345372435486527622800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（精确到个位，精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟

3、合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①②3040714607参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数．③参考数据：，．5．54496．058341959．00表中．22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.23．已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值．2020届高

4、三数学（理）“大题精练”10（答案解析）17．在中，角所对的边分别为，；（1）证明：为等腰三角形；（2）若为边上的点，，且，，求的值．【解】（1），由正弦定理得：，由余弦定理得：；化简得：,所以即，故为等腰三角形．（2）如图，由已知得，，，，又，，即，得，由（1）可知，得．解法二：取的中点，连接．由（1）知，由已知得，，，．解法三：由已知可得，由（1）知，，又，，即，即，．18．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解】（1）设的中点为，连接，为的中点，所以为的中位线，则可得，且；在梯形中，，且，，所以四

5、边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．法二：设为的中点，连接，为的中点，所以是的中位线，所以，又平面，平面，平面，又在梯形中，，且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，又，所以平面平面，又平面，平面．（2）设的中点为，又．因为平面平面，交线为，平面，平面，又由，，．即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系．已知点，设平面的法向量为：．则有，可得平面的一个法向量为，，可得：，所以直线与平面所成角的正弦值为．19．已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出

6、点的坐标；若不存在，说明理由.【解】(1)由题意可得，，又，解得，.所以，椭圆的方程为(2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.设，，定点.(依题意则由韦达定理可得，，.直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.所以，，即得.又，，所以，，整理得，.从而可得，，即，所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立.特别地，当直线为轴时，也符合题意.综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.20．已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间上有零点，求的值；（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合．【解】（1），所以切线斜

7、率为，又，切点为，所以切线方程为．（2）令，得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以的极小值为，又，所以在区间上存在一个零点，此时；因为，，所以在区间上存在一个零点，此时．综上，的值为0或3．（3）当时，不等式为．显然恒成立，此时；当时，不等式可化为，令，则，由（2）可知，函数在上单调递减，且存在一个零点，此时，即所以当时，，即，函数单调递增；当时，，即，函数单调递减．所以有极大值即最