数列通项公式的求法(二)[1].doc

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1、数列通项公式的求法（二）四、待定系数法（构造法）求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。例12、数列{a}满足a=1，a=a+1（n

2、≥2），求数列{a}的通项公式。解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1，∴数列{a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列∴a－2=－（）∴a=2－（）说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{a－2}，从而达到解决问题的目的。例13、数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式。解：由得[来源:学_科_网Z_X_X_K]设a，比较系数得解得∴{}是以为公比，以为首项的等比数列∴例14．已知数列满足，且，求．解：设，则，是以为首项,以3为公比的等比数列点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造

3、新数列来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．例15．已知数列满足，，求．解：将两边同除，得设，则．令．条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列．．因,．点评：递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型．2、通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得。（2006.福建.文.22）（本小题满分14分）已知数列满足[来源:学,科,网]（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；例16、数列满足=0，求数列{a}的通项公式

4、。分析：递推式中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列。解：由得即，且∴是以2为公比，3为首项的等比数列∴利用逐差法可得====∴例17、数列中，，求数列的通项公式。解：由得设比较系数得，解得或若取，则有∴是以为公比，以为首项的等比数列∴由逐差法可得=[来源:学科网]==说明：若本题中取，则有即得为常数列,故可转化为例13。例18．已知数列满足,,求．解：设或则条件可以化为是以首项为，公比为的等比数列,所以．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得．点评：递推式为（p、q为常数）时，可以设，其待定常数s、t由,

5、求出，从而化归为上述已知题型．五、特征根法1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.例19．已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是2、对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例20：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数——迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于

6、是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法）：数列：，的特征方程是：。,。又由，于是故[来源:学科网]3、如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。(2006.重庆.文.22)．（本小题满分12分）数列求数列的通项公式.解：由已知，得，其特征方程为，解之，得，[来源:学科网ZXXK]，。P26(styyj)例21、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.解:数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2

7、的第（2）部分，则有∴∴即例22．已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)∵对于都有(2)∵∴[来源:学科网ZXXK]令，得.故数列从第5项开始都不存在，[来源:学,科,网Z,X,X,K]当≤4，时，.(3)∵∴∴令则∴对于∴(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在