[理学]泰勒公式与极值问题.ppt

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1、泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题一、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导函数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.z=f(x,y)的三阶偏导数共有八(23)种情形：又如z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.再关于y的一阶偏导数为例1.求函数解:的二阶偏导数及注意:从上面两个例子看到，有但这一结论并不总成立.例如,二者不等定理17.7例如,对三

2、元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合偏导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关.例6.证明函数证：利用对称性,有满足拉普拉斯方程注意：多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.得例设f具有二阶连续偏导数,求

3、解:二、中值定理和泰勒公式凸区域：若区域D上任意两点的连线都含于D若D为区域，则对任何恒有凸区域非凸区域内，则称D为凸区域.一元函数中值定理回顾证令由定理的条件知Φ(t)在[0,1]上连续，在(0,1)内可微.由复合函数的求导法则于是由于D为凸区域，所以从而有于是根据一元函数中值定理，存在θ使得二、二元函数的泰勒公式一元函数泰勒公式回顾其中一般地,表示表示这正是二元函数的拉格朗日中值公式.Rn称为其拉格朗日型余项.证:令其中由定理的假设，在[0,1]在满足一元函数泰勒定理条件，于是有下面计算利用多元复合函数求导法

4、则可得:一般地,将上述导数代入公式：即得二元函数泰勒公式.若在泰勒公式中只要求余项带入型余项的泰勒公式中：即令x=1.08,y=3.96,则有x-1=0.08,y-1=-0.04,把这个值与前面用全微分近似公式计算的结果相比较，这个结果更接近于真值1.356307…….三极值问题定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有注意：函数的极值点只可能是定义域的内点.例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.若例如

5、,定理17.10(必要条件)函数存在偏导数,证:取得极值,取得极值，取得极值，稳定点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有故则称(x0,y0)为f的稳定点或驻点.所以所以在原点(0,0)没有偏导数，但它在原点有极小值;所以，函数的极值只可能在稳定点或偏导数不存在的点取得.时,具有极值定理17.11(充分条件)的某邻域内具有二阶连续偏导数,令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数且证:由二元函数的泰勒公式,并注意则

6、有所以其中,,是当h→0,k→0时的无穷小量,于是(1)当AC－B2＞0时,必有A≠0,且A与C同号,可见,从而△z＞0,因此从而△z＜0,(2)当AC－B2＜0时,若A,C不全为零,无妨设A≠0,则时,有异号;同号.可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,++－若A＝C＝0,则必有B≠0,不妨设B＞0,此时可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当AC－B2＝0时,若A≠0,则若A＝0,则B＝0,为零或非零此时因此不能断定(x0,y0)是否为极值点.并求出偏导数不存在的点.求出二阶偏导数的值：例.求函数

7、解:第一步求稳定点得稳定点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数故f在(1,0)有极值,又因在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;故f在(-3,2)有极值,又因例.讨论函数及在点(0,0)是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此(0,0)不是因此为极小值.正负0并且在(0,0)都有可能为的极值点.最大值最小值（简称最值）问题函数f在闭域上连续函数f在

8、闭域上可达到最值最值可疑点稳定点、偏导数不存在的点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据例.解:设水箱长,宽分别为x,y米,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2米3的有盖根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、