泰勒公式与极值问题

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1、第十七章 多元函数微分学               §4 泰勒公式与极值问题§4 泰勒公式与极值问题教学计划:6课时.教学目的:让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法;二元函数的中值定理和泰勒公式;二元函数取极值的必要和充分条件.教学重点:高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件.教学难点:复合函数高阶偏导数的求法;二元函数的泰勒公式.教学方法:讲授法.教学步骤:一 高阶偏导数  由于的偏导函数仍然是自变量与的函数,如果它们关于与的偏导数也存在,则说函数具有二阶偏导数,二元函数的二阶偏导数有如下四种情形:

2、 □注意从上面两个例子看到,这些函数关于x和y的不同顺序的两个二阶偏导数都相等(这种既有关于x又有关于y的高阶偏导数称为混合偏导数),即但这个结论并不对任何函数都成立,例如函数  它的一阶偏导数为进而求f在(0,0)处关于x和y的两个不同顺序的混合偏导数,得    .由此看到,这里的在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关,那么,在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?为此,我们按定义先把表示成极限形式.由于第十七章 多元函数微分学               §4 泰勒公式与极值问题  因此有 

3、     类似地有  为使成立,必须使这两个累次极限相等,即以交换累次极限的极限次序.下述定理给出了使极限相等的一个充分条件.  定理17.7 若都在点连续,则              证 令                           于是有        由于函数存在关于的偏导数,所以函数可导。应用一元函数的中值定理,有      又由存在关于的偏导数,故对以为自变量的函数应用一元函数中值定理,又使上式化为 由则有       (5)如果令则有     .用前面相同的方法,又可得到  

4、  第十七章 多元函数微分学               §4 泰勒公式与极值问题(0)   (6)当不为零时,由(5),(6)两式得到()  (7)由定理假设在点连续,故当时,(7)式两边极限都存在而且相等,这就得到所要证明的(3)式.  这个定理的结论对元函数的混合偏导数也成立。如三元函数,若下述六个三阶混合偏导数在某一点都连续,则在这一点六个混合偏导数都相等;同样,若二元函数在点存在直到阶的连续混合偏导数,则在这一点阶混合偏导数都与顺序无关.  今后除特别指出外,都假设相应阶数的混合偏导数连续

5、,从而混合偏导数与求导顺序无关.  下面讨论复合函数的高阶偏导数.设是通过中间变量而成为的函数,即               其中,若函数都具有连续的二阶偏导数,则作为复合函数的对同样存在二阶连续偏导数。具体计算如下:                显然与仍是的复合函数,其中是的函数,是的函数。继续求关于的二阶偏导数                    同理可得第十七章 多元函数微分学               §4 泰勒公式与极值问题             例3 设,求,  解 这里是以和

6、为自变量的复合函数,它也可以改写成如下形式: 由复合函数求导公式有 注意,这里仍是以为中间变量为自变量的复合函数.所以                                      □ 二 中值定理和泰勒公式  二元函数的中值公式和泰勒公式,与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿,对于元函数也有同样的公式,只是形式上更复杂一些.  在叙述有关定理之前,先介绍凸区域的概念.  若区域D上任意两点的连线都含于D,则称D为凸区域(图17-6).第十七章 多元函数微分学             

7、  §4 泰勒公式与极值问题这就是说,若D为凸区域,则对任意两点和一切,恒有          定理17.8(中值定理) 设二元函数在凸开域上连续,在D的所有点内都可微,则对D内任意两点,存在某,使得                  (8)  证 令它是定义在上的一元函数,由定理中的条件知在上连续,在内可微.于是根据一元函数中值定理,存在使得             (9)            由复合函数的求导法则              (10)由于D为凸区域,所以,故由(9),(10)即得

8、所要证明的(8)式.  注意 若D是闭凸域,且对D上任意两点及任意,都有       则对D上连续,内可微的函数,只要,也存在使(8)式成立.例如D是圆域,在D上连续,在内可微,则必有(8)式成立,倘若D是矩形区域,那就不能保证对D上任意两点都有(8)式成立(为什么?).公式(8)也称为二元函数(在凸区域上)的中值公式.它与定理17.3中值公式(12)相比较,差别在于这里的中值点是在的连线上,而在定理17.3中与可以不相等.推论 若函数在区域D上存在偏导数,且    

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