浅谈导数在际问题中的应用.doc

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1、浅谈导数在实际问题中的应用（一）利用导数解决函数问题⒈利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．例1设函数的图像与轴交点为点，且曲线在点处的切线方程为，若函数在处取得极值，试确定函数的解析式．解因为函数的图像与轴交点为点，所以点的坐标为，又曲线在点处的切线方程为，点坐标适合方程，从而，又切线斜率，故在处的导数，而，，从而，又函数在处取得极值，所以解得，，所以所求函数解析式为．⒉利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也

2、是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．例2求函数的值域．分析先确定函数的定义域，然后根据定义域判断的正负，进而求出函数的值域．解显然，定义域为，由于，又，可见当时，．所以在上是增函数．而，所以函数的值域是．⒊利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态．一般地，函数在闭区间上可导，则在上的最值求法

3、：(1)求函数在上的极值点；(2)计算在极值点和端点的函数值；(3)比较在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．例3求函数在上的最大值和最小值．分析先求出的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间上的最大值和最小值．解由于，则当或时，，所以，为函数的单调增区间；当时，，所以为函数的单调减区间．又因为，，，，所以，当时，取得最小值；当时，取得最大值．⒋利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导

4、数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑的正负即可，当时，单调递增；当时，单调递减．此方法简单快捷而且适用面广．例4求的单调区间．分析应先确定函数的定义域，再利用导数讨论其单调区间．解显然，定义域为，又，由，得或；又由，得或，所以的增区间为和，减区间为和．（二）利用导数解决切线问题⒈求过某一点的切线方程此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，的几何意义就是曲线在点处切线的斜率，过点的切线方程为，但应注意点在曲线上，否则易错．例5求曲线在原点处的切线方程．分析此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设

5、出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程．解显然点不在曲线上，由于，则设切点坐标为，所以，则过点的切线方程为．因为点在切线上，所以，即，所以，故切线方程为，即．⒉求两曲线切线方程例6已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，求公切线的方程．分析本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解．解由，得，所以曲线在点的切线方程是，即．(1)由，得，所以曲线在点的

6、切线方程是，即．(2)若是过与的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以消去，得，由题意知，所以，则，即点与重合，此时曲线和有且仅有一条公切线，且公切线方程为．（三）利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点．利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．例7求证：不等式在上成立．分析通过作差，构造函数，和，再通过对和求

7、导来判断．证明构造函数，则．得知在上单调递增，又因为，所以，即成立．又构造函数，则．得知在上单调递增，又因为，所以，即成立．综上所述，原命题成立．（四）利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题．例8求和：(其中，)．解注意到是的导数，即，可先求数列的前和，然后等式两边同时对求导，有．例9求和：．解因为．上式两边对求导，有，再令，可以

8、得到．（五）利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题．学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便．例10甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边处，乙村