例1 已知圆中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2,另一.doc

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1、例1已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4，两曲线的离心率之比为3:7，求两曲线方程.解：若焦点在x轴上，设所求椭圆及双曲线方程分别为：离心率分别为e1,e2，依题意：a1－a2=4且e1:e2=：，又c1=c2=,∴a1=7,a2=3.故∴所求椭圆与双曲线方程分别为：或当焦点在y轴上时，可得两曲线方程为或例2直线y－ax－1=0和双曲线3x2－y2=1相交于A、B两点，a为何值时，以AB为直径的圆经过原点.解：如图所示，若以AB为直径的圆经过原点，则有OA⊥OB,设A(x1、y1)、B（x2、y2）

2、,则即x1·x2+y1y2=0①把y=ax+1代入3x2－y2=1得3x2－(ax+1)2=1化简得（3－a2）x2－2ax－2=0②∴x1+x2=,x1·x2=－则y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1=把y1y2=1代入①得x1x2+1=0，即+1=0∴a=±1，再由②，若方程有解，Δ>0，则4a2+4×2(3－a2)>0解得,即a=±1成立.—3—∴当a=±1时，以AB为直径的圆各过原点.例3在双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线上分别取A、B两点，使，其中c是半焦距，O是中心，求AB中点P的轨迹方程.解：设A（x1,x1）,B(

3、x2,－x2),P(x,y).由中点坐标公式得x1+x2=2x,(x1－x2)=2y∴x1－x2=,4x1x2=4x2－又∵∴c4=∴x1x2=±a2∴±4a2=4x2－整理得即为所求轨迹方程.说明：此题利用点在渐近线上特点，可以简化假设点的坐标，减少解题层次.例4已知双曲线c的实半轴长与虚半轴长的乘积等于，c的两个焦点为F1、F2，直线l过F2点，且与直线F1F2的夹角为φ,tanφ=,l与F1F2线段的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且，求此双曲线的方程.说明：此题意在增强学生建立坐标系的意识，并进一步熟悉双曲线的几何性质及待定系数法.解：如图，以

4、F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立坐标系设双曲线方程为(a>0,b>0)F1(－c,0),F2(c,0)∴PF2:y=(x－c).—3—∴P(0,－c)又∵由定比分点公式得Q()代入中有∵c2=a2+b2∴16(∴,又∵ab=∴a2=1,b2=3∴双曲线方程为x2－—3—