2010年高考数学总复习 11 空间向量及其运算（限时练习）新人教版.doc

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1、限时作业52空间向量及其运算一、选择题1.已知点A(-3,1,4),则点A关于x轴的对称点的坐标为()A.(-3,-1,4)B.(-3,-1,-4)C.(3,1,4)D.(3,-1,-4)解析:关于x轴的对称点,x的值不变,y,z的值变为原来的相反数,故B正确.答案:B2.下列各组向量中不平行的是()A.a＝(1,2,-2),b＝(-2,-4,4)B.c＝(1,0,0),d＝(-3,0,0)C.e＝(2,3,0),f＝(0,0,0)D.g＝(-2,3,5),h＝(16,24,40)解析:向量平行的充要条件是:

2、存在实数λ,使a＝λb.g,h不满足要求,故D中的两个向量不平行.答案:D3.若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当

3、

4、取最小值时,x的值等于()A.19B.C.D.解析:AB＝(1-x,2x-3,-3x+3),

5、

6、＝＝,当时,

7、

8、取最小值.答案:C4.若向量a＝(1,λ,2),b＝(-2,1,1),a,b夹角的余弦值为,则λ等于()A.1B.-1C.±1D.2解析:cos〈a,b〉＝.解得λ＝1.答案:A5.设a,b,c是任意的非零平面向量,且相互不共线,下列命题中:①(a·b)c-(a

9、·c)b＝0;②

10、a

11、-

12、b

13、＜

14、a-b

15、;③(c·b)a-(a·c)b不与c垂直;④(3a+2b)(3a-2b)＝9

16、a

17、2-4

18、b

19、2.其中是真命题的有()A.①②B.②③C.③④D.②④解析:根据三角形两边之差小于第三边,知②正确,根据空间向量的运算性质,知④正确.3用心爱心专心答案:D二、填空题6.若非零向量a,b满足

20、a+b

21、＝

22、a-b

23、,则a,b所成角的大小为_______.解析:对角线相等的平行四边形为矩形,因此a,b所成的角为90°.答案:90°7.若向量a＝2i-j+k,b＝4i+9j+k,

24、则这两个向量的位置关系是_______.解析:∵a＝(2,-1,1),b＝(4,9,1),∴a·b＝2×4+(-1)×9+1×1＝0a⊥b.答案:垂直8.设向量a＝(-1,3,2),b＝(4,-6,2),c＝(-3,12,t),若c＝ma+nb,则t＝_________,m+n＝______.解析:ma+nb＝(-m+4n,3m-6n,2m+2n),∴(-m+4n,3m-6n,2m+2n)＝(-3,12,t).∴解得∴.答案:119.已知G是△ABC的重心,O是平面ABC外的一点,若λ,则λ＝______.解

25、析:如图,正方体中,,∴λ＝3.答案:3三、解答题10.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1,求直线DA1与AC间的距离.解:建立如图所示坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),＝(1,1,0),＝(0,-1,1),设MN为直线DA1与AC的公垂线段,且＝(x,y,z),且⊥,3用心爱心专心⊥,x+y＝0,-y+z＝0,令y＝t,则＝(-t,t,t),而另可设M(m,m,0),N(0,a,b),则＝(-m,a-m,b),∴∴N(0,2t,t).又2t+t＝

26、1,∴.∴＝(,,,

27、

28、＝.即直线DA1与AC间的距离为.11.设向量a＝(3,5,-4),b＝(2,1,8),计算2a+3b,3a-2b,a·b的值,并确定当λ,μ满足什么关系时,使λa+μb与z轴垂直.解:∵a＝(3,5,-4),b＝(2,1,8),∴2a+3b＝(12,13,16),3a-2b＝(5,13,-28),a·b＝-21.∵z轴的方向向量为(0,0,1),λa+μb＝(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ),∵λa+μb与z轴垂直,则0·(3λ+2μ)+0·(5λ+μ)+(-4λ+8μ)＝0,即

29、8μ-4λ＝0,∴λ＝2μ.∴λ＝2μ时,λa+μb与z轴垂直.12.已知空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC.证明:(方法一)＝＝.∴AD⊥BC.(方法二)选取一组基底,设＝a,＝b,＝c,∵AB⊥CD,∴a·(c-b)＝0,即a·c＝b·a.同理,a·b＝b·c,∴a·c＝b·c.∴c·(b-a)＝0.∴,即AD⊥BC.3用心爱心专心