2020_2021学年高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法学案新人教A版必修5.doc

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1、第1课时　一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)通过一元二次不等式解法的学习，培养数学运算素养．1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0).(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0).(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0).(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).思考：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？[提示]　此不等式含有两

2、个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？[提示]　不等式x2>1的解集为{x

3、x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．4．三个“二次”的关系设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b

4、2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x)＞0或f(x求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解-10-)＜0的步骤画函数y＝f(x)的示意图得等的集不式解f(x)＞0{x

5、x＜x1或x＞x2}Rf(x)＜0{x

6、x1＜x＜x2}∅∅思考：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？[提示]　结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.1．不等式3＋5x－2x2≤

7、0的解集为(　　)A．　B．C．D．RC　[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－.]2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　)A．B．C．∅D．RD　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]3．不等式x2－2x－5>2x的解集是．{x

8、x>5或x<－1}　[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1，5，故x2－4x－5>0的解集为{x

9、x<－1或x>5}．]4．不等式－3x2＋5

10、x－4>0的解集为．∅　[原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]一元二次不等式的解法【例1】　解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3>0；-10-(2)－4x2＋18x－≥0；(3)－2x2＋3x－2<0.[解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2

11、)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．1．解下列不等式(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<

12、0；(4)－3x2＋5x－2>0.[解]　(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集为.(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋4>0的解集为.-10-(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为.含参数的一元二次不等

13、式的解法【例2】　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.思路探究：①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？[解]　当a＝0时，原不等式可化为x>1.当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1