必修5 新课标人教A版 第二章 2.3 2.3.2 等差数列前n项和的性质.ppt

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1、2．3.2等差数列前n项和的性质【学习目标】1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路．2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．1．等差数列的最值在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．2．等差数列的单调性d＝0当等差数列的公差_____时，数列为递增数列；当________时，数列为递减数列；当__________时，数列为常数列．n(7－n)练习：已知等差数列{an}的通项公式为an＝－2n＋8，则{an}的前n项和Sn＝________，Sn的最大值为_______．d>0d<012【问题探究】已

2、知数列{an}前n项和公式为Sn，首项为a1，则该数列的通项公式an与前n项和有什么样的关系式？题型1等差数列的前n项和的性质及应用【例1】等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A．30B．170C．210D．260解析：方法一：取m＝1，则a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70.∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110.S3＝a1＋a2＋a3＝210.由③－②及②－①，结合④，得S3m＝210.方法四：根据上述性质知：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)．∴S3m＝3(

3、S2m－Sm)＝210.方法五：∵{an}为等差数列，∴设Sn＝an2＋bn.∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100.答案：C【变式与拓展】1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()BA．63B．45C．36D．272．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()CA．12B．18C．24D．42题型2等差数列前n项和的最值问题【例2】在等差数列{an}中，若a1＝25，S17＝S9，则Sn的最大值为________．思维突破：利用前n项和公式和二次函数性质求解．∴当n＝13时，Sn有最大值

4、169.方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0.而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.∵d＝－2<0，a1>0，∴a13>0，a14<0.故当n＝13时，Sn有最大值．方法四：由d＝－2，得Sn的图象如图D4(图象上一些孤立点)，图D4∴当n＝13时，Sn取得最大值169.答案：169求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．【变式与拓展】

5、3．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．(1)求数列的公差；(2)求前n项和Sn的最大值；(3)当Sn＞0时，求n的最大值．解：(1)由已知，得a6＝a1＋5d＝23＋5d＞0，a7＝a1＋6d＝23＋6d＜0.又∵d∈Z，∴d＝－4.(2)∵d＜0，∴数列{an}是递减数列．又∵a6＞0，a7＜0，∴当n＝6时，Sn取得最大值为：题型3等差数列前n项和的实际应用【例3】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝12n－n2.(1)求

6、a1

7、＋

8、a2

9、＋

10、a3

11、;(2)求

12、a1

13、＋

14、a2

15、＋

16、a3

17、＋…＋

18、a10

19、；(3)求

20、a1

21、＋

22、a2

23、＋

24、

25、a3

26、＋…＋

27、an

28、.思维突破：先求出数列的通项公式an.解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－12(n－1)＋(n－1)2＝－2n＋13；当n＝1时，a1＝S1＝11，符合an＝－2n＋13.∴an＝－2n＋13(n∈N*)．(1)当－2n＋13≥0时，n≤6.5.又∵n∈N*，∴n≤6.∴

29、a1

30、＋

31、a2

32、＋

33、a3

34、＝a1＋a2＋a3＝S3＝27.(2)由(1)可知：

35、a1

36、＋

37、a2

38、＋

39、a3

40、＋…＋

41、a10

42、＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10＝S6－(a7＋…＋a10)＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10＝72－20＝52.(3)由(1)(2)

43、可知：当n≤6时，

44、a1

45、＋

46、a2

47、＋

48、a3

49、＋…＋

50、an

51、＝Sn＝12n－n2；当n≥7时，

52、a1

53、＋

54、a2

55、＋

56、a3

57、＋…＋

58、an

59、＝a1＋a2＋…＋a6－(a7＋a8＋…＋an)＝S6－(Sn－S6)＝2S6－Sn＝72－(12n－n2)＝n2－12n＋72.综上所述，

60、a1

61、＋

62、a2

63、＋

64、a3

65、＋…＋

66、an

67、【变式与拓展】4．等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的