直线和椭圆的交点问题.doc

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1、线和椭圆的交点问题　　1．若直线与椭圆恒有公共点，求实数m的取值范围。　　解法一：由可得，∴即∴且　　解法二：直线恒过一定点（0,1）当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点，则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点，即　　　　　　综述：且　　解法三：直线恒过一定点（0,1）要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点（0,1）在椭圆内部，即　∴且二、直线截椭圆所得弦长问题　　2．已知椭圆，直线交椭圆于AB，求AB的长.　　解法一：设A、B两点坐标分别为和　　　　　　将直线方程代入椭圆方程　　　　　　得关

2、于的方程　　　　　　∴　　　　　　又。　　　　　　∴AB长为。　　解法二：∵直线过（1，0）点，即椭圆的右焦点∴　　　　　　∴AB长为。　　评注：法二利用了椭圆的焦半径公式，椭圆上一点到左、右焦点的距离分别为和。三、直线截椭圆所得弦中点有关问题　　3．已知椭圆方程为，求：　　（1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；　　（2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；　　（3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。　　解析：设直线与椭圆交点为，，则①　　　　　②　　①－②得③（1）∵弦中点坐标为（4，1），∴，，　

3、　　则由③式得直线斜率为∴直线方程为，即。（2）设弦中点坐标为，则由③式可得④　又∵　∴，即轨迹方程为。（3）同（2），可知轨迹上的点是方程④的解而，∴⑤将⑤代入④可得　　　　　　　　当时，直线与椭圆相交于和,中点为（4，0），　　　　　　　　经验证，也在上述椭圆上∴轨迹方程为。