高中数学-异面直线所成角.ppt

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1、异面直线所成的角一.定义:直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O,分别引直线a′∥a,b′∥b。我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.说明：1．a和b所成的角的大小与空间点的选取无关.2．实质：把a和b平行移动使之相交,把抽象的空间位置用平面内具体的角来体现.3．范围:(0°，]2.异面直线所成的角的求法:例1：如图正方体AC1，①求异面直线AB1和CC1所成角的大小②求异面直线AB1和A1D所成角的大小解:①∵CC1//BB1∴AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角∵在△ABB1中，AB1和BB1所成的角是450∴异面直

2、线AB1和CC1所成的角是450。〖分析〗1、做异面直线的平行线2、说明哪个角就是所求角3、把角放到平面图形中求解D1D1CC1B1A1ADD1B②∵在面A1B1CD中，∵A1B1CD∴A1D//B1C∴AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角∵在△AB1C中，AB1和CC1所成的角是600∴异面直线AB1和A1D所成的角是600。★求角的步骤：做（利用定义画平行线，移到同一平面）证（简单论证）3.求（解平面图形，通常将角置于一个三角形中，利用平面几何知识解决）求异面直线所成角的步骤有哪些？想一想正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BB1的中点，如图，

3、画出下面各题中指定的异面直线所成的角ABCDD1B1ABCDB1ABDB1PD1D1C例2、长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。在A1C1E中，由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体B1F，在空间四边形S-

4、ABC中，SA⊥BC且SA=BC,E,F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900练习1BSABEFG2.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点.且EF=．求:异面直线AD和BC所成的角.且PE//BC,PF//AD解:设P为AC中点,连结EP、FP.则∴PE与PF所成的锐角（其补角）就是异面直线BC与AD所成的角.在△PEF中,PE=PF=1,EF=即异面直线AD和BC成600角∴ABCDEFG定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）（2）补形小结：1、求异面

5、直线所成的角要认识到：空间的角可以用平面的角来定义，体现了立体几何中的降维思想。2、求角的方法：解平面图形（一般为三角形）用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的范围：（1）当cosθ＞0时，所成角为θ（2）当cosθ＜0时，所成角为π－θ（3）当cosθ=0时，所成角为3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有关知识解决。90o思考：已知正方体的棱长为a,M为AB的中点,N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。解：如图，取A1B1的中点E,连BE,有BE∥A1M取CC1的中点G,连BG.有BG∥C1N则∠EBG即为所求角。BG=BE=a,FC1=a由余弦定理，

6、cos∠EBG=2/5取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF则∠FNC为所求角。想一想：还有其它定角的方法吗？在△EBG中A1D1C1B1ABCDMN再见