高等代数课件北大版第七章线性变换7.7.ppt

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1、§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若当标准形简介§9最小多项式§7不变子空间小结与习题第七章线性变换§5对角矩阵7/28/2021数学与计算科学学院一、不变子空间的概念二、线性变换在不变子空间上的限制§7.7线性变换的定义三、不变子空间与线性变换的矩阵化简四、线性空间的直和分解7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院设是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的的子空间，若有则称W是的不变子空间，简称为－子空间.V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一个变换来说，都是－子空间.一、不变子空间1、定义注：7/28

2、/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院1）两个　－子空间的交与和仍是　－子空间.2）设　则W是－子空间证：显然成立.任取设则故W为的不变子空间.2、不变子空间的简单性质由于7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院1）线性变换的值域与核都是的不变子空间.证：有故　　为的不变子空间.又任取有3、一些重要不变子空间也为的不变子空间.7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院2）若　则与都是－子空间.证：对　　　　　存在使于是有，为的不变子空间.其次，由对有7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院于是故　为　的不变子空间.的多项式的值域与核都是的不变

3、子空间.这里　　为中任一多项式.注：7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院4）线性变换的特征子空间是的不变子空间.有5）由的特征向量生成的子空间是的不变子空间.证：设是　的分别属于特征值的特征向量.3）任何子空间都是数乘变换　的不变子空间.任取设则为的不变子空间.7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院事实上，若则为　的一组基.因为W为－子空间，即必存在　使是的特征向量.特别地，由　的一个特征向量生成的子空间是一个一维－子空间.反过来，一个一维－子空间必可看成是　的一个特征向量生成的子空间.注：7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院二、在不变子

4、空间W引起的线性变换定义：不变子空间W上的限制.记作在不变子空间W上引起的线性变换，或称作　在设　是线性空间V的线性变换，W是V的一个　的不变子空间.把看作W上的一个线性变换，称作7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院①当时，③任一线性变换　在它核上引起的线性变换是零变换，即即有注：当时，无意义.②在特征子空间上引起的线性变换是数乘变换，7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院1、设　是　维线性空间V的线性变换，W是V的－子空间，为W的一组基，把它扩允为V的一组基：若在基下的矩阵为，则在基下的矩阵具有下列形状:三、不变子空间与线性变换的矩阵化简7/28/202

5、1§7.7不变子空间数学与计算科学学院反之，若则由生成的子空间必为的不变子空间.事实上，因为W是V的不变子空间.即，均可被线性表出.7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院从而，设7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院在这组基下的矩阵为若，则为V的一组基，且在这组基下的矩阵为准对角阵2、设是维线性空间V的线性变换，都是的不变子空间，而　　　　　是的一组基，且（1）7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院的子空间为的不变子空间，且V具有直和分解：由此即得：下的矩阵为准对角矩阵(1),则由　　　　　　生成V的线性变换　在某组基下的矩阵为准对角形V可分

6、解为一些　的不变子空间的直和.反之，若在基7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院定理12：设为线性空间V的线性变换，是四、线性空间的直和分解是的特征多项式.若具有分解式：再设则　都是　的不变子空间；且V具有直和分解：7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院证：令则是的值域，是的不变子空间.又（2）7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院下证　　　　　　　　　　　分三步：证明∴存在多项式使于是∴对　有证明　　　　　　　是直和.证明7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院这里7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院其中（也

7、即，　　　　　　　　），则∴存在　使于是(3)即证，若证明　　　　　　　是直和.7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院用作用（3）的两端，得又7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院从而所以　　　　　　　是直和.∴有多项式，使7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院证明:首先由(2)，有即其次，任取　　　　设即令7/28/2021§7.7不变子空间数学与计算科学学院由（2）,有