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1、第七章线性变换7.1线性映射7.2线性变换的运算7.3线性变换和矩阵7.4不变子空间7.5特征值和特征向量7.6可以对角化矩阵课外学习8：一类特殊矩阵的特征值当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。---拉格朗日（Lagrange,1736-1813）数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。---华罗庚（1910－1985）惠州学院数学系7.1线性映射一、内容分布7.1.1线性映射的定义、例.7.1.2线性变换的象与核.二、教学目的:1．准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定
2、的法则是否是一个线性变换（线性映射）．2．正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核．三、重点难点:判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核．惠州学院数学系7.1.1线性映射的定义、例设F是一个数域，V和W是F上向量空间.定义1设σ是V到W的一个映射.如果下列条件被满足，就称σ是V到W的一个线性映射：①对于任意②对于任意容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：③对于任意和任意惠州学院数学系在②中取，对③进行数学归纳，可以得到：（1）（2）例1对于的每一向量定义σ是到的一个映射，我
3、们证明，σ是一个线性映射.例2令H是中经过原点的一个平面.对于的每一向量ξ，令表示向量ξ在平面H上的正射影.根据射影的性质，是到的一个线性映射.惠州学院数学系例3令A是数域F上一个m×n矩阵，对于n元列空间的每一向量规定：是一个m×1矩阵，即是空间的一个向量，σ是到的一个线性映射.惠州学院数学系例4令V和W是数域F上向量空间.对于V的每一向量ξ令W的零向量0与它对应，容易看出这是V到W的一个线性映射，叫做零映射.例5令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数k，对于任意定义容易验证，σ是V到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做V的一个
4、位似.特别，取k=1，那么对于每一都有这时σ就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映射，如果取k=0，那么σ就是V到V的零映射.惠州学院数学系例6取定F的一个n元数列对于的每一向量规定容易验证，σ是到F的一个线性映射，这个线性映射也叫做F上一个n元线性函数或上一个线性型.例7对于F[x]的每一多项式f（x），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是F[x]到自身的一个线性映射.惠州学院数学系例8令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数所成的R上向量空间，对于每一规定仍是[a,b]上一个连续实函数，根据积分的基本性
5、质，σ是C[a,b]到自身的一个线性映射.惠州学院数学系7.1.2线性变换的象与核定义2设σ是向量空间V到W的一个线性映射,(1)如果那么叫做 在σ之下的象.(2)设那么叫做在σ之下的原象.定理7.1.1设V和W是数域F上向量空间，而 是一个线性映射，那么V的任意子空间在σ之下的象是W的一个子空间，而W的任意子空间在σ之下的原象是V的一个子空间.惠州学院数学系特别，向量空间V在σ之下的象是W的一个子空间，叫做σ的象,记为即另外，W的零子空间{0}在σ之下的原象是V的一个子空间，叫做σ的核，记为即惠州学院数学系定理7.1.2设V和W是数域F
6、向量空间，而是一个线性映射，那么(i)σ是满射(ii)σ是单射证明论断(i)是显然的,我们只证论断(ii)如果σ是单射,那么ker(σ)只能是含有唯一的零向量.反过来设ker(σ)={0}.如果那么从而所以即σ是单射.惠州学院数学系如果线性映射有逆映射，那么是W到V的一个线性映射.建议同学给出证明.惠州学院数学系7.2线性变换的运算一、内容分布7.2.1加法和数乘7.2.2线性变换的积7.2.3线性变换的多项式二、教学目的:掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算.掌握线性变换的多项式,能够求出给定线性变换的多项式.三、重点难点:会做运
7、算.惠州学院数学系7.2.1加法和数乘令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线性映射叫做V的一个线性变换.我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设定义:加法:数乘:,那么是V的一个线性变换.可以证明:和都是V的一个线性变换.令，那么对于任意和任意证明惠州学院数学系所以是V的一个线性变换令，那么对于任意和任意所以kσ是V的一个线性变换.惠州学院数学系线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对于任意,以下等式成立:(1)(2)令θ表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然具有以下性质：对任意有：(3)设σ的负变换－σ指
8、的是V到V的映射容易验证，－σ也是V的线性变换，并且（4）惠州学院数学系线性变换的数乘满足下列算律：这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.定理7.2.1L（V）对于加法和数乘来说作
