多个独立正态分布随机变量的最大值分布.pdf

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1、第17卷第1期武汉科技学院学报Vol.17No.12004年02月JOURNALOFWUHANUNIVERSITYOFSCIENCEANDENGINEERINGFeb.2004多个独立正态分布随机变量的最大值分布袁子厚，何小亚，梅家斌（武汉科技学院数理系，湖北武汉430073）摘要：求n个相互独立的随机变量的最大值分布是概率论中常见的运算。但是当n很大时求最大值分布及其统计参数很繁，本文用渐近分布理论得知多个独立正态分布随机变量的最大值分布为极值Ⅰ型分布，再推导具体表达式，从而很容易求出其统计参数。关键词：正态分布；最大值分布；统计参数；极值Ⅰ型分布中

2、图分类号：O174.53文献标识码：A文章编号：1009－5160（2004）－0052－04设X1,X2,L,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FXi(zi)(i=1,2,…,n),则M=max(X,X,L,X)的分布函数为F(z)=F(z)F(z)LF(z)[1]。当n很大时，很难直接计算F(z)的分12nmaxX1X2Xnmax布形式及F(z)的统计参数。下面分析多个服从一般正态分布的随机变量的最大值分布。max定理1设原始分布F(x)是指数型分布，即limd[1-F(x)]=0,则最大项XN的分布函数FN（x）的极限x®¥dxf

3、(x)[2]分布为极值Ⅰ型分布。2(x-m)(x-m)21-2x1-设X服从正态分布，其密度函数f(x)=e2s,F(x)=2s2,ò-¥edx2ps2ps2¢é-(x-m)ù+¥12¢2s22¢êòedxúé(x-m)-(x-m)ù∵é1-F(x)ùx=2+¥12ê2psúêe2se2sdxúêú=ê(x-m)2úòxëf(x)û1-2êë2psúûêe2súêë2psúû22(x-m)(x-m)2x-m+¥1-2=e2se2sdx-12òxs2ps(x-m)2+¥-(x-m)222s-edx2∵òx=-e2slim2limx®+¥(x-m)2x®+

4、¥(x-m)22(x-m)2-2s-2(x-m)s-e2s2s22s22-2e(-)+e(-s)(x-m)2x-m2sx-m=lim1=1x®+¥s21+2(x-m)收稿日期：2004-01-08作者简介：袁子厚(1966-)，男，副教授，研究方向：工程结构可靠性.第1期袁子厚，等：多个独立正态分布随机变量的最大值分布53¢∴limé1-F(x)ù=0êúx®¥ëf(x)û2∴若X1,X2,⋯,Xn服从一般正态分布N(m,s)，随机变量X1,X2,⋯,Xn的最大值分布为极值Ⅰ型分布。定理2设X,X,L,X是独立的同分布的变量，最大值为,Y，g(y)=n

5、[1-F(y)]，则当n很大12nnX时，F(y)=exp[-g(y)]。Yn证明：∵X,X,L,X是独立的同分布的变量，且最大值为Y，12nn∴FYn(x)=P(Yn

6、)]}YnXXXnnxn=1-(1-)nxln(1-)xnQlimnln(1-)=lim=-xn®¥nn®¥1n-x当n®¥时,Fx(x)=1-eLLLL(2)（2）n由(1)可知：-1(1xn),(-1()为Y(·)的逆函数)且x随Y增加而减少，Yn=FX-FX·Xnnn∴当n很大时，F(y)=P(Yg(y)](其中g(y)=n[1-FX(y)])=1-F(g(y))=exp[-g(y)](由(2)可知)LLL(3)（3）xn定

7、理3若X'服从标准正态分布N(0,1),随机变量'1'Y'，则当n充分大时，Y'的X1,X2,L,Xn的最大值为nn分布函数'''F(y')=exp{-e-an(y-un)},'Ynlnlnn+ln4p其中，u¢=2lnn-n22lnna¢=2lnnn54武汉科技学院学报2004年z21x-证明：∵X'服从标准正态分布N(0,1),∴分布函数为：F(x)=e2dzX¢ò-¥2p又随机变量X',X1,L,X'的最大值为'，令[1()]Yx=n-FY¢12nnnXnY¢z2+¥z2n1-n-x=n[1-e2dz]=e2dznòò2p-¥2pY1n[3]解

8、得：lnlnn+ln4plnxnY¢=2lnn--（n较大时）。(4)n22lnn2lnnln