例谈函数零点问题处理几种方法

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1、例谈函数零点问题处理几种方法　　函数零点问题往往以选择、填空题形式出现在近几年的高考试题中，该问题主要考查函数与方程的关系，要求学生能够运用分类讨论、数形结合、转化与化归思想来解决函数的零点分布或个数问题，该文从以下几个方法来探讨处理函数零点问题的策略。方法一、直接法人教数学必修1在函数零点这一节中：“方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点。”由此可知，求函数的零点，就是直接求方程的实数根。例1.（2010年福建卷理4）函数的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3解：当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。备注：利用直接法求函数零点，前提是函数的零点，即方

2、程的实数根，是我们能够用代数方法求解的，往往是我们所熟悉的一次、二次、对数、指数等一些初等函数所对应的方程。方法二、定理法人教数学必修1中的零点存在定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数5在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根，也就是函数的零点。零点存在定理告诉我们，如果连续函数在区间端点的函数值异号，那么函数在区间内至少有一根（奇数个根）。例2.（2010年高考天津卷理科2）函数的零点所在的一个区间是（）A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（1，2）解：因为，，所以选B。例3.“”是“函数有零点”的（）A.充分不必要条件

3、B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：若，不妨设则当时，有；当时，有。将零点存在定理拓展的非正常区间，有，故函数在必有一根。反之，显然不成立，若，函数可能退化为二次或一次函数，仍然可能有根，故选A备注：零点存在定理虽然是判断零点存在的一个充分条件，但是却定量的刻画了函数零点所在区间，尤其在引入二分法后，用逼近的思想，可以将函数的零点定位在一个长度充分小的区间内。三、图像法5函数与方程是中学数学中的重要概念，它们之间有着密切的联系，在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，同时很多方程的问题需要用函数的知识和方法来解决。譬如对于函数零点的问

4、题可以转换为与的交点问题。例4.（2011年高考陕西卷理科6）函数在内（）（A）没有零点（B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点解：令，作出两个函数图像，如图。备注：函数零点的问题可以转换为与的交点问题时，能够直观地判断函数零点的个数，甚至零点所在的区间（若再结合二分法，可以将零点所在区间更加细化）。四、导数法当我们碰到一类非初等函数时，前面的方法不能够解决时，就需要用导数。通过导数，我们可以直接获得函数的相关性质，比如极值与最值，再结合单调性，直接判断零点的个数或分布。例5.2009天津卷4设函数则（）A.在区间内均有零点B.在区间内均无零点。C.在区

5、间内有零点，在区间内无零点D.在区间内无零点，在区间内有零点解：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值5；又，故选择D。备注：求函数零点一般不用导数，但是一旦用到导数，却比较踏实，因为导数能够从整体上把握函数的性质，从函数在区间上极值的正负，该文原载于中国社会科学院文献信息中心主办的《环球市场信息导报》杂志http：//www.ems86.com总第528期2013年第47期-----转载须注名来源就能够判断函数在对于区间上的零点。五、换元法例6.（2011学年第二学期宁波十校联考10改编题）已知函数，若函数（）有六个不同的零点，则的取

6、值范围是（）A.B.C.D.解：原问题图像与图像有六个不同的交点，由于为复合函数，故采用换元令，则。故问题与在时有三个不同的交点。备注：换元法要注意换元前后的范围，本题中的在换元后，注意到，对应的函数图像应该是的一段。六、综合法当函数的零点问题看似无从入手，前面的方法不能直接实施时，我们就要用函数与方程，通过分离函数或参变分离，借助导数来研究函数图像之间的联系。例7.（瑞安中学2011学年第一学期高三期末17改编题）已知函数在定义域上有两个不同的零点，则5的取值范围为。法一：运用函数与方程思想，转换为与有2个不同交点，即图像法。由于图像过原点，（显然，否则仅有一个交点）作出两者

7、函数图像，如图只需研究过原点的直线与相切，即可找到临界点设切点A，根据方程，解出，即切点A由图像可知，的斜率，解出。法二：参变分离转化为图像与图像有2个交点，而是一条平行于轴的直线，对进行求导，得到，则当，有；当，有。故在为减函数，在为增函数。根据洛必达（L’Hospital）法则，有，可知以轴为渐近线如图备注：综合法求解函数零点，起点要求比较高，要能够熟练运用数形结合及分类讨论思想。高考试题中函数零点问题的呈现，多种多样，有些与函数的周期性，单调性等性质相整合，有些是间接地求方程根或函数零