例谈高考数学题的函数零点问题.doc

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1、例谈高考数学题的函数零点问题梁关化，2015，11，12高考数学题的函数零点问题，早前都是以小题出现为多，但近几年却变为大题，甚至是难题。例如，今年全国卷（1）、广东和江苏等省的高考数学题都把函数零点问题作为大题、难题来出。函数零点问题，归纳起来，常有如下几种类型：一、求零点的值或判断零点所在区间；二、讨论是否有零点或零点个数；三、由零点个数求函数解析式中参数取值范围。解决零点问题，首先要掌握好零点概念的三个等价形式：（1）函数值为零的自变量值；（2）方程f(x)=0的解（也可以把方程f(x)=0变形为g(x)=

2、h(x),那么两函数g(x)和h(x)的图象的交点的横坐标即为方程f(x)=0的解）；（3）函数图象与x轴的交点的横坐标。因此，零点与方程知识，与数形结合的数学思想紧密相关。其次，还需要掌握好零点存在性的判断定理；此外，还需要掌握好利用函数的导数来研究函数的单调性，极值，最值的方法。求函数解析式中参数取值范围问题，往往还需要分类讨论的数学思想。下面一起分析几道高考题或高考题的改编题。例1（广东2015年高考数学理科题）设，函数(1)求的单调区间；(2)证明在上仅有一个零点；(3)若曲线在点P处的切线与x轴平行，且

3、在点处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：.解：（1）解略。（答案：的单调递增区间为）（2）由（1）得在区间上单调递增，又，从而有，使得，在上仅有一个零点。（说明：这里用到零点存在性的判断定理。还有：当一个函数在单调且在其一个子区间里有一个零点，那么它在上的零点是唯一的。）（3）（思路：由在点P处的切线与x轴平行先求出点P的坐标，进而求出直线OP的斜率，再由导数求在点处的切线的斜率，从而得到一个关于m,a,e的关系式，再把要证不等式转化为一个不含根号的不等式来证，即，最后构造一个函数，再研究其单调性，极

4、值，最值，不等式即可得证。例2（广东2015年高考数学文科题）设为实数，函数．若，求的取值范围；讨论的单调性；当时，讨论在区间内的零点个数．解：（1）（思路：解绝对值不等式，一是分类讨论，一是整体等价转化，本小题可等价转化为）（2）原函数即下面分段函数：分段研究，即可得以下结论：在（上单调递减，在上单调递增。（3）分a=2和a>2两种情况讨论。1）当a=2，为在同一直角坐标系分别作出和g(x)=的图象，易得两图象在得一个交点，交点的横坐标为x=2,从而在区间内有一个零点。2）当a>2时由于的最小值在x=a处取得，

5、而此时g(x)=的值为，但的最小值小于（可作差比较，把差分解或构造函数解决），再在同一直角坐标系分别作出和g(x)=的图象，易得两图象在有两个交点，从而在区间内有两个零点。例3（江苏2015年高考题的改编题）已知函数。（1）试讨论的单调性；（2）若点(a,b)在直线上，且函数有三个不同的零点，求a,b的取值范围。解：（1）通过导数，再分a=0，a>0，a<0三种情况讨论即可得出以下结论：1）当a=0，函数在上单调递增；2）当a>0，函数在上单调递增；函数在上单调递减；3）当a<0，函数在上单调递增；函数在上单调递

6、减；（2）由已知得，再由（1）知函数的两个极值为，那么，函数有三个不同的零点或把代入，解得或，例4(2015年全国卷（1）文科高考题)设函数.（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时.解：（1）导数为分和两种情况讨论：1）当时，易得，故没有零点；2）当时，易知在x>0时为单调递增，当，，故在必有零点，从而在有唯一零点。（2）设零点为,从而有。易得为函数的最小值，即，又，从而，当时.。练习：1．设函数①若，则的最小值为；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．2.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则a的取

7、值范围是.3、若函数f（x）=

8、-2

9、-b有两个零点，则实数b的取值范围是_____.4．已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）5.已知函数，函数，则函数的零点的个数为(A)2(B)3(C)4(D)56．设函数f（x）=,k>0（I）求f（x）的单调区间和极值；（II）证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间（1，）上仅有一个零点。