【三维设计】2013届高考数学一轮复习 数学思想活用 巧得分系列四 转化与划归思想在求解恒成立问题中的应用 新人教版.doc

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1、【三维设计】2013届高考数学一轮复习数学思想活用巧得分系列四转化与划归思想在求解恒成立问题中的应用新人教版　[典例]　(2012·安徽模拟)已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　)A．(－∞，2)∪(3，＋∞)　B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(1,3)[解析]　把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3

2、x＋2＞0即可，联立方程解得x＜1或x＞3.[答案]　C[题后悟道]　本题解答利用了转化与化归思想、函数思想，体现了主元与次元的转化，从而变为关于a的一次函数，利用函数的性质来求解．解决此类问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．利用转化与化归思想的原则是：熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则．针对训练1．(2012·杭州模拟)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈成立，则a的最小值为(　　)A．0　　　　　　　　　B．－22C．－D．－3解析：选C　∵x2＋ax＋1

3、≥0，在x∈时恒成立，∴a≥－x－.又－x－＝－≤－，∴a≥－，即amin＝－.2．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是(　　)A．[1,19]B．(1,19)C．[1,19)D．(1,19]解析：选C　函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立．(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a2＋4a－5≠0时，应有解得1<

4、a<19.综上可知，a的取值范围是1≤a<19.2