在平面区域U上,,,计.doc

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1、1．在平面区域U上，，，计算.2．设是一个光滑映射，它在每一点处是一个局部微分同胚，证明它是一个开映射。3．设是的开子集。，都是满射，。证明：若中有两个是微分同胚，则第三个也是微分同胚。4．设是一个微分同胚，则对任意M上的向量场X，存在唯一一个N上的向量场Y，使得X与Y是相关的。5．设映射定义为，求切映射在自然基下的矩阵，并证明是微分同胚。6．设，，计算。7．设在上的作用定义为，其中是常数，证明是作用在上的单参数变换群，并求它的诱导切向量场。8．设，计算X生成的流。9．设，，试求。10．设是向量空间V上的一次形式，线性无关，且，则是的线性组合，且线性无关。

2、11．如果三阶共变张量满足和，则为零张量。12．设是n维向量空间V上的一次形式，且线性无关，是一个次外形式，则存在次外形式使得的充要条件是。13．设试求的可积条件。14．设，，证明：是一个闭微分形式，但不是是一个恰当形式。15．设是闭形式，是恰当形式，求证：是闭形式。16．设M的第一基本形式为，计算它的Gauss曲率。17．设是欧氏向量空间，为二阶对称共变张量，设在一组基下，有，则，这里是常数。18．定义映射使得。证明：是从到的浸入子流形，并且求出上由诱导的黎曼度量。19．设是一个m维有向黎曼流形，X是M上一个向量场，在定向相符的局部坐标系下构造-形式是X

3、的分量，求证此定义与局部坐标系的选择无关。