2012年全国高中数学联赛甘肃预赛.doc

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1、2012年全国高中数学联赛甘肃省预赛一．填空题（每小题7分，共56分）1.空间四点两两间的距离均为，点与点分别在线段与上运动，则点与点间的最小距离为_______．2.向量，，为坐标原点，动点满足，则点构成的图形的面积为_______．3.设有非空集合，且当时，必有，这样的集合的个数是_______．4.设，其中表示不超过的最大整数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是_______．5.位数的手机号码，前七位数字是，若余下的个数字只能是且都至少出现次，这样的手机号码有_______个．6.若，则的最大值是_

2、______．7.设函数，满足，且对任意都有，则_______．8.实数满足，则的最大值为_______．二．解答题（共64分）9.(本题满分14分)已知数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）设为非零常数，若数列是等差数列，记，，求．10.(本题满分14分)是抛物线的准线上任意点，过作抛物线的切线，切点分别为(在轴上方)．（1）证明：直线过定点；（2）设的中点为，求的最小值．1.(本题满分18分)设为正实数，且，求证：．2.(本题满分18分)某校数学兴趣小组由位同学组成，学校专门安排位老师作为指导教师．在该

3、小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题，每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了个问题．试求的值．