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1、运筹与优化第十四章对策论对策论对策论的基本概念对策论的基本定理矩阵对策的解法第一节对策论的基本概念对策论亦称竞赛论或博奕论,是研究具有斗争或竞争性质的数学理论和方法.具有竞争或对抗性质的行为称为对策行为.对策论是研究对策行为中竞争各方是否存在最合理的行动方案,以及如何找到最合理方案的数学理论和方法.具有对策行为的模型称为对策模型,或对策.对策三要素局中人:在一个对策行为中,有权决定自己行动方案的对策者.n个局中人的集合I={1,2,…,n}.理智的决策者:不存在侥幸心理者.策略集:可供局中人i选择的一个实际可行的完整的行动方案
2、称为一个策略si,策略集Si.局势:在对策中,各局中人所选定的策略构成的策略组s=(s1,s2,…sn).全体局势S=S1×S2×…×Sn赢得函数:局势s的函数Hi(s).矩阵对策:二人有限零和对策.第二节对策论的基本定理局中人I的纯策略集S1={α1,α2,…αm};局中人Ⅱ的纯策略集S2={β1,β2,…βn};对任一纯局势(αi,βj)(共m×n个),局中人I的赢得值为aij,赢得矩阵为A=(aij)m×n.局中人Ⅱ的赢得矩阵为-A.矩阵对策记为G={Ⅰ,Ⅱ，S1，S2；A}或G={S1，S2；A}.田忌齐王β1(上中下
3、)β2(上下中)β3(中上下)β4(中下上)β5(下中上)β6(下上中)α1(上中下)α2(上下中)α3(中上下)α4(中下上)α5(下中上)α6(下上中)311-11113-11111131-1111131-11-11131-111113例1.“齐王赛马”中，齐王的赢得矩阵为:最优策略:有利于自己获得最大赢得(或最少损失)的策略.选择最优策略的原则:牢记对方总是以最不利于你的行动方案来对付你.例2.设矩阵对策G={S1,S2;A},其中S1={α1,α2,α3,α4},S2={β1,β2,β3},试求双方的最优策略和赢得.理
4、智行为:双方各按最不利于自己的情形中选择最为利己的结果作为决策的依据.定义1.设矩阵对策G={S1,S2；A},若等式(1)成立,记,则称VG为对策G的值,称使(1)成立的纯局势为G在纯策略下的解(或平衡局势、双赢局势).定理1.矩阵对策G={S1,S2；A}在纯策略中有解的充要条件是:存在纯局势使得(2)(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n).既是其所在行的最小元素,又是其所在列的最大元素.定义2.设实函数f(x,y)定义在x∈A,y∈B上,若存在x*∈A,y*∈B,使得对x∈A,y∈B,有f(x,y*)≤f(x*,y*
5、)≤f(x*,y)(3)则称(x*,y*)为f(x,y)的一个鞍点.矩阵对策G在纯策略意义下有解,且的充要条件是:是矩阵A的一个鞍点.例3.确定p和q的取值范围,使矩阵A在(α2,β2)处存在鞍点.其中∵q≤a22≤p，∴p≥5,q≤5例4.设矩阵对策G={S1,S2;A},其中S1={α1,α2,α3,α4},S2={β1,β2,β3},试求双方的最优策略和赢得.性质1(无差别性).若(αk,βr)和(αp,βq)是对策G的两个解,则akr=apq.事实上,由,有apq≤apr≤akr≤akq≤apq因此akr=apq.性质
6、2(可交换性).若(αk,βr)和(αp,βq)是对策G的两个解,则(αk,βq)和(αp,βr)也是对策G的解.由aiq≤apq=akr≤akq≤apq=akr≤akj得aiq≤akq≤akj,即akq是鞍点.故(αk,βq)是解.同理，(αp,βr)是解.性质1、2表明,矩阵对策的值是唯一的.例5.P385例题.定义3.设矩阵对策G={S1,S2;A},A=(aij)m×n.若局中人I以概率xi≥0取纯策略αi,局中人Ⅱ以概率yj≥0取纯策略βj,且.记则S1*,S2*分别称为局中人I和Ⅱ的混合策略集.称x∈S1*,y∈S
7、2*为局中人I和Ⅱ的混合策略,(x,y)为混合局势,局中人I的赢得函数为称G*={S1*,S2*,E}为对策G的混合扩充.设则有定义4.设G*={S1*,S2*;E}是矩阵对策G={S1,S2;A}的混合扩充,若记其值为VG,则称VG为对策G*的值,使(3)成立的混合局势(x*,y*)为G在混合策略意义下的解.定理2.矩阵对策G={S1,S2;A}在混合策略中有解的充要条件是:(x*,y*)为E(x,y)的一个鞍点,即对一切x∈S1*,y∈S2*,有E(x,y*)≤E(x*,y*)≤E(x*,y)(4)注意:G在纯策略下解存在
8、时,定义4中的;G在混合策略意义下的解(x*,y*)存在时,VG=E(x*,y*).例4.解矩阵对策G={S1,S2;A},其中局中人I取纯策略αi时,其赢得函数为E(i,y)=∑aijyj,局中人Ⅱ取纯策略βj时,其赢得函数为E(x,j)=∑aijxi.由上两式得E(x,y
