(第二周)第十一章 压杆稳定.ppt

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1、第十一章压杆稳定重点:了解压杆稳定的概念;掌握用欧拉公式计算压杆的临界荷载与临界应力;理解压杆的临界应力总图;掌握压杆的稳定条件及其实用计算.第一节压杆稳定的概念一直杆受轴向拉伸时,无论杆的长短粗细如何,直至被拉断为止,杆的轴线始终保持直线状态。直杆受压时，情况就不同了，根据直杆的长度和横截面积的大小分为粗短杆和细长杆。粗短杆受压时，破坏原因是由于强度不够，即横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆会发生破坏。细长压杆的破坏并不是由于强度不够，即横截面上的正应力没达到材料的极限应力时，因弯曲过大而破坏。1例如，一根长300mm的钢制矩形截面直杆，宽为20mm，厚度为1mm，材料的抗压许用应力

2、等于140MPa。按抗压强度计算，其抗压承载能力为2800N。但实际上，压力不到40N时，杆件发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力而导致破坏。显然这不属于强度破坏的问题。以下图等直细长杆说明问题。在杆两端施加轴向力F，使杆在直线状态下处于平衡，此时，给杆以微小的侧向干扰力，使直发生微小的弯曲，再撤去干扰力。当杆承受的轴向压力大小不同，其结果也截然不同。1）当轴向压力F小于某一数值Fcr时，在撤去干扰力后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，图a、b，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡。abcd22）当轴向压力F逐步增大到某一数值Fcr时，即使撤去干扰力，杆仍处于

3、微弯状态，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，图c、d，则原有的直线平衡状态称为不稳定的平衡。3）如果力F继续增大，则杆继续弯曲,产生显著的变形,甚至发生突然的破坏。abcd3由上可知，在轴向压力逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。压杆是否失稳取决于轴向压力的大小，压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示。当轴向压力F小于Fcr时，杆件就能保持稳定的平衡，这称为压杆具有稳定性；当轴向压力F等于或大于Fcr时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。4第二节临界力和临界应力一、细长压杆临界

4、力计算公式——欧拉公式（推导从略）二、欧拉公式的一般形式临界力计算公式可以统一写成：（1）式EI为截面的抗弯刚度，由于压杆总是在抗弯刚度最小的纵向平面内失稳，所以I应取截面的最小形心主惯性矩。μl称为折算长度（计算长度），表示将压杆折算成两端铰支座的长度。μ为长度系数。支承情况两端铰支一端固定一端悬臂两端固定一端固定一端铰支杆端支承情况折算长度长度系数l2l0.5l0.7l120.50.7lPcrlPcrPcrlPcrl5例１：如图，一端固定另一端自由的细长压杆，杆长l=2m，截面形状为矩形，b=20mm，h=45mm，材料的弹性模量E=200GPa，试计算该压杆的临界力。若把截面改为b=h

5、=30mm，而长度保持不变，则该压杆的临界力为多少？【解】1）计算截面的惯性矩压杆在弯曲刚度最小的xy平面内失稳,最小惯性矩为:2）计算临界力3）当截面改为b=h=30mm时压杆的惯性矩为：分析：横截面面积相等，支承条件相同时，计算的临界力后者大于前者。所以在材料用量相同时，选择恰当的截面形式，可提高细长压杆的临界力。yxFlbzh6ZYXF三、欧拉公式的适用范围1、临界应力和柔度当压杆在临界力Fcr作用下处于直线状态的平衡时，其横截面上的压应力等于临界力Fcr除以横截面面积A，称为临界应力，用σcr表示。代入（1）式得：令i——压杆横截面的惯性半径临界应力可写为：令则（2）式(3)式为压杆

6、临界应力的欧拉公式。λ为压杆的柔度或长细比，是一个无量纲的量，与压杆的长度系数μ、杆长l及惯性半径i有关。由于压杆的长度系数μ决定于压杆的支承情况，惯性半径i决定截面的形状和尺寸，所以柔度综合反映了支承情况、压杆的长度、截面的形状与尺寸对临界力的影响。（3）式表明：压杆的柔度λ越大，则临界应力σcr越小，压杆越易失稳。（3）式72、欧拉公式的适用范围在推导欧拉公式的过程中，利用了挠曲线的近似微分方程，该微分方程必须是材料处于弹性状态即服从虎克定律，因此欧拉公式的适用范围是临界应力不超过材料的比例极限σp。设λp为压杆临界应力达到材料的比例极限σp时的柔度值，则：欧拉公式的适用范围：λ≥λP（

7、5）式（4）式当压杆的柔度不小于λp时，才可应用欧拉公式计算临界力和临界应力。这类压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式只适用于大柔度杆。（4）式可知，λp的值取决于材料的性质，不同的材料有自己的E和σp值，所以不同的材料制成的压杆，λp也不同。例如Q235钢，σ=200MPa，E=200GPa，（4）式求得λp=1008四、中长杆的临界力计算——经验公式、临界应力总图1、中长杆的临界力计算——经验公式欧拉公式只