《机械优化设计方法》第2章.ppt

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1、主讲教师：张彩丽机械设计制造及其自动化第2章优化设计的数学基础机械优化设计第2章优化设计的数学基础2.1函数的方向导数与梯度2.2函数的泰勒展开式2.3正定二次函数2.4极值条件2.1函数的方向导数与梯度2.1.1函数的方向导数偏导数方向导数2.1.1函数的方向导数2.1函数的方向导数与梯度2.1.2函数的梯度梯度，也表示为gradf(Xk)2.1.2函数的梯度2.1.2函数的梯度梯度方向是函数值增长最快的方向梯度方向沿等值线的外法线方向2.1.2函数的梯度函数的梯度具有以下性质：1、函数在一点的梯度是由该点上的所有一阶偏导数组成的列向量。梯度的方向是函数值上升最快的方向，其大小就是

2、它的模。2、函数在一点的梯度方向与函数过该点的等值线的切线相垂直，即是该点等值线的外法线方向。3、梯度是函数在一点邻域内局部性态的描述。在邻域内上升得快的方向，离开邻域后就不一定上升得快，甚至可能下降。2.1函数的方向导数与梯度例2-1：求函数在点和的梯度，并作图表示。解：根据定义2.1函数的方向导数与梯度2.2函数的泰勒展开式2.2函数的泰勒展开式2.2函数的泰勒展开式例2-2：用泰勒展开式将函数在点简化成线性函数和二次函数。解：2.2函数的泰勒展开式2.3正定二次函数对于任意非零向量X：（1）若有，矩阵H正定。（2）若有，矩阵H负定。（3）若有时，有时，矩阵H是不定矩阵。2.3正

3、定二次函数2.3正定二次函数2.3正定二次函数正定二次函数有以下性质：（1）正定二次函数的等值线是一族同心椭圆。（2）非正定二次函数在极小点附近的等值线近似于椭圆。2.4极值条件2.4.1无约束问题的极值条件多元函数在某点取极值的必要条件2.4.1无约束问题的极值条件例2-3：求函数的极值。解：2.4.1无约束问题的极值条件2.4极值条件2.4.2约束问题的极值条件2.4.2约束问题的极值条件1、等式约束问题的极值条件2.4.2约束问题的极值条件2、不等式约束问题的极值条件2.4.2约束问题的极值条件2.4.2约束问题的极值条件Kuhn-Tucker条件，简称K-T条件2.4.2约束

4、问题的极值条件例2-4：用K-T条件判断点是否为以下问题的最优点：解：2.4.2约束问题的极值条件作业1、把函数在点（1,1）处化简成线性函数和二次函数。2、试用K-T条件证明目标函数在不等式约束条件下，点（1,0）是否为约束极值点。