双曲线的简单几何性质导学案

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1、学案：2.3.2双曲线的简单几何性质【学习目标】1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a、b、c、e的关系及其几何意义的理解。2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。【学习难点】渐近线方程的导出。知识回顾1、双曲线的定义：2、双曲线的标准方程：3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的？过程方法性质过程范围对称性顶点离心率一、学习

2、探究（一）试一试类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程，研究它的几何性质。①范围：由双曲线的标准方程可得：从而得x的范围：；即双曲线在不等式和所表示的区域内。=从而得y的范围为。②对称性：以代，方程不变，这说明所以双曲线关于对称。同理，以代，方程不变得双曲线关于对称，以代，且以代5，方程也不变，得双曲线关于对称。③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程里，令y=0,得x=得到双曲线的顶点坐标为（）（）；我们把（）（）也画在y轴上（如图）。线段分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为。④离心率

3、：双曲线的离心率e=，范围为。思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？双曲线特有性质-----渐近线：双曲线的渐近线方程为,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线，。（二）想一想1、根据上述五个性质，画出椭圆与双曲线的图象。二、学生展示1）整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在y轴时的几何性质，完成下表。标准方程（a>0,b>0）(a>0,b>0)图象范围对称轴对称中心实虚轴顶点渐近线5离心率a,b,c关系2）等轴双曲线定义及性质是什么？3）探究共渐近线的双曲线系？三．学生点

4、评：优点：缺点四、总结延伸（一）已知双曲线方程研究几何性质例1：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐进线方程。练习(1)：的实轴长虚轴长，顶点坐标焦点坐标离心率（2）的实轴长为虚轴长顶点坐标焦点坐标离心率渐近线方程拓展提升的渐近线方程为：的渐近线方程为：的渐近线方程为：的渐近线方程为：。思考:共渐近线的双曲线方程有什么特点？（二）由双曲线方程性质求双曲线方程例2：求中心在原点，对称轴为坐标轴，过点A（-5，3），且离心率e=的双曲线的标准方程。5练习：求顶点在x轴上，两顶点间距离为8

5、，离心率e=的双曲线的标准方程。五、巩固训练1求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。2求经过点A（3，-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程。3求离心率为，经过点M（-5，-3）的双曲线标准方程。4若双曲线的渐近线方程为求双曲线的离心率5若双曲线的离心率，求k的范围6设双曲线（a>0）的渐近线方程为，求a的值7双曲线与椭圆有公共焦点，它的一条渐近线方程为y=x，求双曲线方程。8设p是双曲线（a>0）上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，F1，,F2是双曲线的左右焦点，若59、双曲线

6、的左支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，求a+b的值10、椭圆和双曲线（m>0）有相同的焦点，P（3，4）是椭圆和双曲线渐近线的一个交点，求m的值及椭圆方程六、课时小结5