小学六年级奥数教案：排列组合综合(讲师版).pdf

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1、排列组合综合知识定位本讲主要讲授的是排列组合的几种基本方法。要求在熟练掌握乘法原理和加法原理的基础上，掌握几种基本的排列组合相关问题的方法：特殊位置特殊元素优先分析法、捆绑法、插空法、隔板法知识梳理乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可

2、的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.加法原理无论自然界还是学习生活中，事物的组成往往是分门别类的，例如解决一件问题的往往不只一类途径，每一类途径往往又包含多种方法，如果要想知道一共有多少种解决方法，就需要用到加法原理.加法原理：一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法.加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独

3、立”.特殊位置特殊元素优先分析法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。捆绑法在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。隔板法隔板法就是在n个元素间插入（b-1）个板，即把n个元素分成b组的方法。例题精讲【试题来源】【题目】①有5个人排成一排照相，有多少种排法？②5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法？③5个人排成

4、一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？④5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法【答案】①120种排法②120种排法。③24④48【解析】①5个人排成一排照相，从左到右共5个位置。第一个位置可从5个人中任选一人，有5种选法；第二个1/11位置只能从剩下的4个人中任选一人，有4种选法，同理，第三、第四、第五个位置分别有3种、2种、1种选法。每个位置上站了一人就是一种排法。根据乘法原理，共有5×4×3×2×1=120种排法。②5个人排成两排照相，可先排前排、再排后排，依次也有5个位置，类似①的方法可得共有5×4×3×2×1=120种排法。③这里，限定某人必须站在中间，他的位置固

5、定了，而其余4人可以任意站位，类似①的分析可知共有4×3×2×1=24种排法。④这里，限定某人必须站在两头，这件事分两步完成，第一步，安排限定的人，有2种方法；第二步，安排其它的4人，类①的分析，有4×3×2×1=24种方法，根据乘法原理，共有2×（4×3×2×1）=24×2=48种排法.注：对于①和②其实是一种题，算法可以归为一种，因为每个位置都是独一无二的，没有重复，所以5人一排和两排方法是没有分别的【知识点】排列组合综合【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】（1）（迎春杯决赛）（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）【题目】（1）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求

6、它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？（2）在右图（2）中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个“兵”．有多少种不同的放法？【答案】6480，16【解析】（1）设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有：10×9=90种不同的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有：9×8=72种不同的放置方法．因此，总共有：72×90=6480种不同的放置方法．（2）第一列有2种放法．第一列放定后，第二列又有2种放法．…如此下去，共有2×2×2×2=16种不同的放法

7、．注：对于第（2）题，一定要从第一列开始考虑，也就是从取值范围小的开始入手，如果从范围大的入手，那么就会出现两种情况：包含小范围的和不包含小范围的。分类考虑起来可能会比较麻烦，所以遇到此类题，从小范围的开始考虑比较容易得到答案【知识点】排列组合综合【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】2/11【题目】大林和小林共有小人书不超过50本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？【答案】132