高中数学 2.3 数学归纳法学案 选修.doc

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1、选修2-22.3数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式(　　)A．1＋<2　　　　　　B．1＋＋＜2C．1＋＋＜3D．1＋＋＋＜3[答案]　B[解析]　∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　)A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a3[答案]　B[解析]　因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.3

2、．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)A.B.C.＋D.－[答案]　D[解析]　f(n＋1)－f(n)＝－＝＋－＝－.4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案]　C[解析]　原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的

3、证明时，正确的证法是(　　)A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案]　C[解析]　∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案]　C[解析]　增加一个顶点，就

4、增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证(　　)A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案]　D[解析]　假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,

5、3时命题成立．故应选D.8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(　　)A．30B．26C．36D．6[答案]　C[解析]　因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝(　　)A.B.C.D.[答案]　B[解析]　由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1∴S

6、n＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an∴an＋1＝an　(n≥2)．当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝a3＝a2＝，a4＝a3＝.由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝猜想an＝，故选B.10．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即

7、正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案]　D[解析]　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．[答案]　当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析]　当n＝1时，左≥右，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．12．已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝______

8、__.[答案]　[解析]　解法1：通过计算易得答案．解法2：Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝_