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《高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦互动课堂学案 苏教版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学3.1.2两角和与差的正弦互动课堂学案苏教版必修4疏导引导1.两角和与差的正弦公式sin（α-β）=cos(-α+β)=cos［(-α)+β］=cos(-α)cosβ-sin(-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ，即sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ.在上式中，以-β代β可得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.2.正确理解和差角的正弦公式（1）公式对于任意的角α、β都成立.(2)搞清sin（α±β）的意义，例如sin（α+β）是两角α与β的和的正弦，它表示角α+β终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比，在一般
2、情况下，sin（α+β）≠sinα+sinβ,如α=，β=时，sin（+）=sin=1，sin+sin=+=≠1,∴sin(+)≠sin+sin.只有在某些特殊情况下，sin（α+β）=sinα+sinβ.例如，当α=0，β=时，sin（0+）=sin=，sin0+sin=0+=，sin（0+）=sin0+sin.在学习时一定要注意:不能把sin（α+β）按分配律展开.(3)牢记公式并能熟练左、右两边互化.例如化简sin20°cos50°-sin70°cos40°,能观察出此式等于sin（20°-50°）=-sin30°=-.（4）灵活运用和（差）角公式，例如化简sin（
3、α+β）cosβ-cos(α+β)sinβ,不要将sin（α+β）,cos(α+β)展开，而应就整个式子，直接运用公式sin［（α+β）-β］=sinα,这也是公式的逆用.3.有关点（向量）的一组旋转公式已知点P（x,y）,与原点距离保持不变绕原点旋转θ角到点P′(x′,y′),则公式推导如下：如下图所示：设∠xOP=α,则cosα=,sinα=.∴x′=rcos(α+θ)=r(cosαcosθ-sinαsinθ)=xcosθ-ysinθ，y′=rsin(α+θ)=r(sinαcosθ+cosαsinθ)=xsinθ+ycosθ.即4.形如asinx+bcosx(a,b不
4、同时为零)的三角函数式可化为一个角的一个三角函数式.记住以下重要结论：asinx+bcosx=sin(x+θ)其中sinθ=,cosθ=,推导如下：考察以（a,b）为坐标的点P（a,b）,设以OP为终边的一个角为θ，则cosθ=,sinθ=.于是asinx+bcosx=(sinx+cosx)=a2+b2(cosθsinx+sinθcosx)=sin(x+-θ).其中sinθ=,cosθ=.活学巧用【例1】化简下列各式（1）cos（80°+3α）cos(35°+3α)+sin(80°+3α)cos(55°-3α)；(2)sin(x+)+2sin(x-)-cos(-x)；(3
5、).解析：（1）原式=cos（80°+3α）cos(35°+3α)+sin(80°+3α)sin(35°+3α)=cos［(80°+3α)-(35°+3α)］=cos45°=.(2)原式=sin（x+）+2sin(x-)-cos［π-(x+)］=［sin(x+)+cos(x+)］+2sin(x-)=2［sin(x+)·+cos(x+)·］+2sin(x-)=2［sin(x+)cos+cos(x+)sin］+2sin(x-)=2sin［(x+)+］+2sin(x-)=2sin(x+π)+2sin(x-)=2sin［π-(-x)］+2sin(x-)=2sin(-x)+2sin
6、(x-)=0.(3)原式===tan(α-β).【例2】已知cos（α+β）=,cos2α=-,α、β均为钝角，求sin（α-β）.∵α、β∈(90°,180°),∴α+β,2α∈(180°,360°).∵cos(α+β)=-＜0,cos2α=-＜0.∴α+β,2α∈(180°,270°).∴sin(α+β)=,sin2α=.∴sin(α-β)=sin［2α-(α+β)］=sin2αcos(α+β)-cos2α·sin(α+β)=(-)×(-)-(-)()=.【例3】已知向量=(3,4),绕原点旋转30°到的位置，求点P′(x′,y′)的坐标.解析：x′=xcosθ-ys
7、inθ=3cos30°-4sin30°=3×-4×,y′=xsinθ+ycosθ=3sin30°+4cos30°=3×∴P′的坐标(,).【例4】将下列各式化成Asin(x+φ)的形式.(1)sinx+cosx;(2)(sinx-cosx);(3)sin(-x)+cos(-x).解析：(1)sinx+cosx=(sinx·+cosx·)=(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+).(2)(sinx-cosx)=·(sinx·-cosx·)=2(sinxcos-cosxsin)=2sin(x-).(3)sin(-x)+
