高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法（1）学案 新人教A版必修.doc

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1、2.1数列的概念与简单表示法（1）学习目标　1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．知识点一　数列及其有关概念思考1　数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？答案　不是．顺序不一样．思考2　数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？答案　数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．梳理　(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1

2、项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．(2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．知识点二　通项公式思考1　数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？答案　100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100.梳理　如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．思考2　数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？答案　如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义

3、域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．知识点三　数列的分类思考　对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？答案　(1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．梳理　(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做

4、摆动数列．类型一　由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，－，，－；(2)，2，，8，；(3)9,99,999,9999；(4)2,0,2,0.解　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.(3)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.(

5、4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N*.反思与感悟　要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系．跟踪训练1　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)－，，－，；(2)，，，；(3)7,77,777,7777.解　(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.(2)

6、这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.(3)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9999，即×(10－1)，×(100－1)，×(1000－1)，×(10000－1)，即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N*.类型二　数列的通项公式的应用例2　已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N*.(1)写出它的第10项；(2)判断是不是该数列中的项．解　(1)a10＝＝.(2)令＝，化简得8n2－33n－35＝0，解得n＝5

7、(n＝－舍去)．当n＝5时，a5＝－≠.所以不是该数列中的项．引申探究对于例2中的{an}．(1)求an＋1；(2)求a2n.解　(1)an＋1＝＝.(2)a2n＝＝.反思与感悟　在通项公式an＝f(n)中，an相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．跟踪训练2　已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，那么