高考数学一轮复习 7.9立体几何中的向量方法（Ⅱ）学案.doc

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1、§7.9　立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离学考考查重点　1.考查用向量方法求空间角的大小；2.考查简单的空间距离的计算(点面距是重点)．本节复习目标　1.掌握空间角的定义、范围，掌握求空间角的向量方法；2.会利用向量方法对距离进行转化．教材链接·自主学习1．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝

2、cos〈m1，m2〉

3、.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝

4、cos〈m，n〉

5、.(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD是二面角α—l—

6、β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．2.点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.基础知识·自我测试1．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为___________．2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．3．从空间一点P向二

7、面角α—l—β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，垂足分别为E，F，若二面角α—l—β的大小为60°，则∠EPF的大小为__________．4.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________．5．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．题型分类·深度剖析题型一　求异面直线所成的角例1　如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中

8、心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．变式训练1：如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值．题型二　求直线与平面所成的角例2　如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，

9、求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．变式训练2：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，且AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小．题型三　求二面角例3　(2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．变式训练3：(2011·辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA

10、＝AB＝PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q—BP—C的余弦值．题型四　求空间距离例4　在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示.求点B到平面CMN的距离．变式训练4：(2012·大纲全国)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)A．2B.C.D．1