2019届人教数学A版 立体几何中的向量方法 单元测试Word版含解析.doc

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1、2019届人教A版（文科数学）立体几何中的向量方法单元测试一　利用空间向量证明平行问题例1　如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.【解析】证明　∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，又∵与不共线，∴，与共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.引申探究本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.证明　∵＝(0,1,0)，＝(0,2,0)，∴＝2，∴BC∥EF.又∵EF⊄平面P

2、BC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC.学点拨　(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．巩固1正方体ABCD－A1B1C1D1中

3、，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.二　利用空间向量证明垂直问题1　证线面垂直例2　如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.m＝λ＋μ＝a＋μb＋λc，·m＝(a－c)·＝4－2μ－4λ＝0.故⊥m，结论得证．方法二　取BC的中点O，连接AO.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．因为n⊥，n⊥，故⇒令x＝1，则y＝2，＝－，故n＝(1,2，－)为平面A1BD的一个法向量，而＝(1,2，

4、－)，所以＝n，所以∥n，故AB1⊥平面A1BD.2　证面面垂直例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.证明　(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为E为PC的中点，所以E(－，，)．易知平面PAD的一个法向量为＝(0，，0)，因为＝(，0，－)，且·＝(0，，0)·(，0，－)＝0，学]所以EF∥平面PAD.(2)因为＝(，0，－)，＝(0，－a,0)，所以·＝(，

5、0，－)·(0，－a,0)＝0，所以⊥，所以PA⊥CD.又PA⊥PD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PDC.又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.点拨　证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂

6、直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．巩固2如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.三　利用空间向量解空间角问题1　求异面直线所成的角例3　如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；](2)求直线AE与

7、直线CF所成角的余弦值．【解析】(1)证明　如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.学又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)解　

8、如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，

9、

10、为单位长度，建立空间直角坐标系Gxy，由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，点拨