高中数学复习 圆锥曲线之抛物线.doc

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1、抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性[来源:Zxxk.Com][来源:学+科+网][来源:学。科。网Z。X。X。K]质焦[来源:学科网ZXXK]点①②③④准线⑤x＝－⑥⑦y＝－⑧范围⑨x≥0，y∈R⑩y≤0，x∈R对称轴x轴y轴顶点原点O(0，

2、0)离心率开口　　　　向左向上　　　　【答案】1．l　焦点　准线2．①　③　⑥x＝　⑧y＝⑩x≤0，y∈R　y≥0，x∈R　x轴　e＝1　向右　向下【基础自测】1　准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是(　　)A．x2＝16yB．x2＝8yC．x2＝－16yD．x2＝－8y解：由题意可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，∵抛物线的准线方程为y＝＝4，∴p＝8.∴该抛物线的标准方程为x2＝－16y.故选C.2　已知抛物线y2＝2px上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为(　　)A．x＝8B．

3、x＝－8C．x＝4D．x＝－43　已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，

4、AF

5、＋

6、BF

7、＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)A．B．1C．D．解：易知抛物线y2＝x的准线方程为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点P(x0，y0)，则由抛物线的定义得

8、AF

9、＝x1＋，

10、BF

11、＝x2＋.∵

12、AF

13、＋

14、BF

15、＝3，∴x1＋x2＝，x0＝(x1＋x2)＝，即P点到y轴的距离为.故选C.4　若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝__________；准线方程为

16、____________．解：由于抛物线y2＝2px的焦点坐标为，∴＝1，p＝2，准线方程为x＝－1.故填2；x＝－1.5　点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x＝－1距离的和的最小值为________．解：由题意知抛物线的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，则由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离d＝

17、PF

18、.∴d＋

19、PA

20、＝

21、PF

22、＋

23、PA

24、≥

25、AF

26、＝(当且仅当P点在线段AF上时等号成立)．故填.【典例】类型一　抛物线的定义及标准方程例一　(1)已知抛物线的顶点在原点，

27、焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出抛物线的方程．解：∵抛物线过点A(m，－3)，∴抛物线的开口向下、向右或向左．①当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，准线方程为y＝，由抛物线的定义得－(－3)＝5，解得p＝4，抛物线的方程为x2＝－8y.∵点A(m，－3)在抛物线上，∴代入得m2＝24，m＝±2.②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，准线方程可统一为x＝－.当m＝时，抛物线的方程为y2＝18x；当m＝－时，抛物

28、线的方程为y2＝－18x.(2)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)A．2B．3C．D．解：易知直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小．因此最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2.故选A.【评析】(1)用数形结合的

29、方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式．注意利用代数的观点，把抛物线向右或向左的情形统一起来，提高解题效率；(2)把“数”、“方程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简洁．变式　设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为(　　)A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x解：抛物线C的焦点F，准线x＝－.设M(x，y)，则＝x＋＝

30、5，得x＝5－.∵以MF为直径的圆过点(0，2)，∴MF的中点到点(0，2)的距离为，即＝＝，得y＝4.类型二　抛物线焦点弦的性质例二　如图，AB为过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，点A，B在抛物线准线上的射影为A1，B1，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：(1)＝x1＋x2＋p；(2)x1x2＝，y1y2＝－p2；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相