线性代数 第2章 矩阵理论基础 第2节课件.ppt

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1、第二章矩阵理论基础§2.4矩阵的秩与矩阵的等价标准形§2.3可逆矩阵§2.2n阶(方阵的)行列式§2.1矩阵的运算§2.5分块矩阵§2.6线性方程组解的存在性定理·Cramer法则1§2.2n阶(方阵的)行列式按原来相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为(i,j)元素的余子式，记为Mij,称Aij=(-1)i+jMij为(i,j)元素的代数余子式。定义1用式子D表示方阵A的元素按某种规则运算得到的一个数，称为A的行列式。定义2在D中划掉第i行和第j列元素而剩下的元素2例如：3n阶行列式的值定义如下(递归定义)

2、:当n=1时，当时，定义3上式又称按第一行展开。4由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算5计算下三角行列式注意思考！6行列式的性质推论1如果行列式有一行为零，则行列式等于零。例如性质1行列式按任意一行展开，其值相等。7例如性质2互换行列式的两行,行列式变号。推论2如果行列式有两行相同，其值为零。例如8性质3行列式的某一行中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。例如推论3是一个数。推论4行列式中如果有两行元素成比例，则此行列式为零。例如9性质4若行列式的某一行的元素都是两数之和，则可把这两个数拆开，其它元素

3、不变写成两个行列式的和。例如10性质5把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变。例如：11性质6行列式与它的转置行列式相等,即。说明行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立.12例1上三角形，然后计算行列式的值。只用这种变换，把行列式化为13只用变换或只用变换一定能把行列式化为上(下)三角形.行列式的值不变.14计算练习：1516性质7，其中17性质8设A，B都是n阶方阵，则设A是奇数阶方阵，且证明证明:例218行列式的值等于按任一行(列)展开，错行(错列)展开必为零。行列式

4、展开定理性质9↑19由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。作辅助行列式第i行(展开)展开定理给出了行列式降阶计算的思想。证20计算行列式解降阶法例321求(1)例4(2)解：22矩阵的转置矩阵由

5、A

6、的各元素的代数余子式所构成称为A的伴随矩阵。伴随矩阵——研究可逆矩阵由行列式展开定理推论523计算n阶行列式解将第列都加到第1列上,得例524特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第1行（列），提取公因子后在简化计算。25例6特征2：第一行，第一列及对角线元素

7、除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。爪形行列式26例7从最后一行开始,每行减去上一行的倍.范德蒙(Vandermonde)行列式27按最后一列展开再提取每列的公因子282930解：所以根为x=1,2,3.练习31例832计算n阶行列式解将按第一行展开得例933得递推公式特征3：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素,按该行（列）展开得递推公式。34计算解：例103536特征4：除对角线元素外，上三角各元素相等，下三角各元素相等。常用拆分法或数学归纳法求解。37特征5：非零元素特别少（一般不多于2N个）

8、，可直接利用行列式的定义求解。行列式常用的计算方法：化三角法、降阶法（递推法）、归纳法、定义法。38思考(1)计算4阶行列式39解思考题解答40思考(2)求第一行各元素的代数余子式之和41思考题解答解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成42练1计算练2计算练3计算43