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1、1由斯图尔特定理推导的几则长度公式—以勾股定理为范式建立任意三角形三边度量关系式张恭潜（湖南铁道职业技术学院412001）张海贝(深圳长城开发公司518035)简介:对斯图尔特定理中的切氏线进行特定设置,用面积系数建立起以勾股定理为范式适用于任意三角形三边的度量关系式;丰富了三角形的长度公式,感悟数学美。关键词:切氏线、中线、内等腰线、面积系数、勾股定理[1]悠久的勾股定理奠定了几何学基石。译著《几何原本》第Ⅰ卷47命题中，欧几里得用面积法证明了勾股定理（毕达哥拉斯定理）谱写了直角三角形三边度量的精美关系式(图1左)：??+??=??---(1)在第Ⅱ卷12，
2、13命题中，又证明了现行余弦定理之原型。余弦定理之原型是四条线段的度量关系式，其数学表达式为(参见图1中，右)：a,b两边夹角C为锐角时：??+??=??+??∙??---(2)a,b两边夹角C为钝角时：??+??=??−??∙??---(3)2余弦定理原型（2）（3）两式的出现，证明一切三角形均具有三边度量关系式，揭示了同类事物存在共性和个性的哲学原理。[2]余弦定理原型用“矩形面积修正项”添加在勾股定理等式的一边,建立了非直角三角形三边度量关系。尽管（2）和（3）式均内含了直角三角形（CD=0）的特例，但“±”运算的差异使两式不能统一。千余年后有了三角函数
3、，才使（2）和[3]（3）式统一。但现行的余弦定理超越了长度定理范畴。回到长度定理范畴来思考，从数学美的视角来看，余弦定理原型由于存在“面积修正项”，使（2）（3）两式的美感度与二次三项等式的勾股定理之“简洁美”、“对称美”相比存在明显的差距,尤其是两式不能合一的问题对数学追求“统[4]一美”而言是个遗憾。联想到一个圆锥曲线方程能融合三种相异的圆锥曲线，故从类比思维来考量以上遗憾时，就会让人萌发出去寻找一个能融合（1）（2）（3）式的尝试。具体思路是以勾股定理为范式，选择合适的第四长度参数，用“面积修正系数”替代“面积修正项”，建立适于任意三角形三边的度量关系
4、式。所幸的是斯图尔特定理为此提供了现成的平台。1745年苏格兰人斯图尔特[4](M.Stewart)推出了斯图尔特定理:图2中由三角形顶点C任意引一条切氏线[5](Cevian)CD交对边AB于D点，则有下列等式成立:??∙???+??∙???=??∙???+??∙??∙??---（4）3此公式可用余弦定理原型推出。它将原三角形线间二维等式升格为三维等式，蕴含了丰富内容,成为导出多个几[6]何公式的公用平台。如图2中切氏线CD是AB边的中线，其长记为mc，用AD=BD=c/2，代入（4）式，整理后就是中线公式：??????+?=?+???---(5)现改写为如
5、下“系数式”:???????]·???+?=[+?()---(6)??21mcmc令β=+2(),β是线段商的函2CC数,是无因次系数,代入(6)即为:??+??=?∙??---(Ⅰ)这是个以勾股定理为范式的表达式。对照余弦定理原型(2)(3)两式,(Ⅰ)式取消了“面积修正项”“±2a•CD”,而用“面积修正系数”β来建立一个二次三项等式。式(Ⅰ)的几何意义是：三角形的任两条边的平方和等于第21mc三条边的平方乘以“面积修正系数”β，β=+2(),其中C是第三边边2C长，mc为第三边之中线长。4现对“面积修正系数”β作进一步的分析。见图3，AB为三个三角形的公
6、共底边，以AB为直径（AB=C=2r）作圆O，从各三角形顶点作底边之中线m1,m2,m3。1.顶点C1在圆外，所以∠C1是锐角，△AC1B中C边上中线大于圆半径r,即m1C1m12＞，故β=+2()＞1。因此当AC1和BC1两边夹角为锐角时，对边212C的面积修正系数β的值域为：(1，+∞)，即AC2+BC2>?B2。1112.顶点C2在圆上,所以∠C2是直角，△AC2B中C边上中线等于圆半径r,即C1m22m2=，故β=+2()=1。因此当AC2和BC2两边夹角为直角时，222C对边的面积修正系数β≡1,即AC2+BC2=?B2。2223.顶点C3在圆内,所
7、以∠C3是钝角，△AC3B中C边上中线小于圆半径r,即m3＜C1m32，故β=+2()<1。因此当AC3和BC3两边夹角为钝角时，对边的232C1222面积修正系数β的值域为：(，1)，即AC3+BC3
8、角形三边与三中线的度量关系式，也是个美
