频谱分析在周期拟合中的应用.pdf

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1、探讨与研究文章编号:1007-3817(2001)03-0020-03频谱分析在周期拟合中的应用1徐进军付孙钟(1武汉大学测绘科学与技术学院,武汉430079)摘要在时间序列数据处理中常碰到确定性信息的提取。确定性信息包含趋势项和周期项。拟合周期项需要知道频率,利用频谱分析则可准确地捕捉频率,从而获得良好的计算结果。关键词频谱分析;时间序列;曲线拟合中图分类号P207文献标识码A对一组动态数据一般由三部分组成:趋1频谱分析的基本原理势项、信号和偶然误差。如图1所示的沉降变形值,它的三部分为:逐渐下

2、沉趋势、周期波在实际过程中,采样都是离散和有限的,动和观测中的偶然误差。如果是连续信号,在应用计算机处理时也需要进行截断并离散化。一般来说,离散后的序列均满足离散傅立叶变换所要求的条件。因此在实际数据处理时,都采用离散傅立叶变换。详细说明和推导可参见文献[1],这里直接给出变换公式。假定有一段离散时间序列xt,t=1,2,3,…,N,其观测间隔为$ti,这里有两点必图1沉降变形-时间过程线须注意:1)xi中不宜含明显的趋势项。如果有,在进行处理时,我们首先要提取前两项,应首先通过趋势项拟合消除趋势项

3、的影响。对剩下的误差再进行相关分析(如时序建2)取样间距$ti必须相等,假定$ti=模)。对趋势项,可利用多项式函数、指数函$t。如果不等,则可针对实际情况通过函数拟数、对数函数或对其组合等拟合;对周期性信合并采用内插实现。号则采用三角函数拟合。但在用三角函数拟对满足以上两点的序列,其傅立叶变换合时必须已知频率。如果将频率作为未知参式为:N数进行非线性处理,则很难正确地估计所有-2Pkti/NXk=$t∑xte(1)参数,且计算量大。若频率给得不准确,势必t=1其中,Xk称为频谱值,k=0,1,2,

4、…,N-1。会严重影响到拟合效果(这在后面的计算中根据采样定理,该时间序列能发现的最可以看到)。而应用频谱分析则可以很好地解高频率为决此类问题。项目来源:国家自然科学基金资助项目(49874002)。20测绘信息与工程2001No.3/探讨与研究fN=1/2$t如果一个序列过程y由p个不同周期fN称为Nyquist频率。因此,在进行内插时的函数叠加而成,则y的拟合表达式为:p尽量使$t值取小一些,以求在计算中不损失y=∑Aisin(2Pfix+Ui)(6)信息。i=1由于频谱值Xk没有直观意义,习惯

5、上总仿(3)、(4)式将(6)式展开,采用最小二把它转化成能量,构成直观的能量-频率图。乘原理,就可解得(6)式中的参数,进而依(5)对应于频率为fk=kfA/2N的谐振能量为:式求得Ai和Ui。22Pk=((real(Xk))+(imag(Xk))(2)3算例其中,k=0,1,2,…,N-1。1)频谱分析。假定观测值y为:2曲线拟合参数估计y=T+S+E(7)其中,T为趋势,S为周期信号,E为偶然误对于一个周期函数,拟合函数形式为:差,服从N(0,1)分布。y=Asin(2Pfx+U)(3)对模拟

6、的三个函数,它们的周期部分相其中,f为频率,它可通过傅立叶变换求得;同但趋势项不同,x的取值范围为[0,2],增A为振幅;U为初相位角。A和U是所要求的量$x=0.02。其过程线y-x图列于图2～4参数。对(3)式变形后,可得到线性式:的左边,傅立叶变换后的能量P-频率f图列y=asin(2Pfx)+bcos(2Pfx)(4)于图2～4右边。其中,所要求的参数为a,b,且与式(3)中的从图2～4对比可以看出,由于趋势项的参数有如下关系:A=(a2+b2)1/2,U=arctan(b/a)(5)存在,

7、使得频率计算受到影响,随着趋势项的图2yd=3.0sin(2Px*5+P/3)-2sin(2Px*10-P/6)+E(无趋势)图3yd=2e1.53.0sin(2Px*5+P/3)-2sin(2Px*10-P/6)+E(较小趋势)加强,频率慢慢变得无法计算。主要原因是:变换主要是对趋势项进行变换。事实上,由于过大的趋势项掩盖了周期变化,使得傅立叶趋势项没有周期变动,或者其周期为无穷大,测绘信息与工程2001No.321探讨与研究所以对应的频率为零。这种现象在图3、4中合(f1=5,f2=10);被

8、明显反映出来。——只用一个频率进行拟合(f1=5);2)曲线拟合。仅利用图2中的无趋势项——用不准确的频率进行拟合(f1=4,(或认为是消除了趋势项)的数据,选择了三f2=12)。种计算拟合方案进行比较:计算结果列于表1中。拟合的优劣根据——根据按频谱计算得到的频率进行拟残差平方和的大小比较。图4yd=2e2+3.0sin(2Px*5+P/3)-2sin(2Px*10-P/6)+E(较大趋势)表1变形过程的拟合结果方案拟合函数残差平方和/mm标准差/mm1yd=3.0