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《特征根法求数列的通项公式.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、特征根法求数列的通项公式求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.aa⋅n+b*1.已知数列{an}满足an+1=......①其中c≠0,ad≠bcn,∈N.ca⋅+dnaxb+定义1:方程x=为①的特征方程,该方程的根称为数列{a}的特征根,记为αβ,.ncxd+a−αac−αa−αn+1n定理1:若αβ,≠a且α≠β,则=⋅.1a−βac−βa−βn+1naxb+2ad−b证明:x=⇒cx+(d−axb)−=⇒0α+β=,αβ=−cxd+cc∴=−da(α+β),cb=−αβcaa+bn−αa−αca+d(aa+b)−
2、α(ca+d)(ac−α)a+(bd−α)n+1nnnn∴===an+1−βaan+b−β(aan+b)−β(can+d)(ac−β)an+(bd−β)ca+dn(ac−α)a+−[αβc−(ac−α−cβα)](ac−α)a−(ac−αα)nn==(ac−β)a+−[αβc−(ac−α−cββ)](ac−β)a−(ac−ββ)nnac−αa−αn=⋅证毕ac−βa−βn12c1定理2:若α=β≠a且ad+≠0,则=+.1a−αad+a−αn+1n2证明:∵d=a−2αcb,=−αc11ca+dca+dnn∴===an+1−αaan+b−α(aan+b)−α(can+d
3、)(a−αca)n+−bαdca+dnca+−a2αcca+−a2αcca+−a2αcnnn===a−ca−2ca+−2ca−ca−ad+(α)(αα2α)(α)(α)nn(a−α)n22ca+2a−4αc2ca+(a−2αc)+d2(ca−α)(+ad+)nnn===(ada+)(−α)(ada+)(−α)(ada+)(−α)nnn2c1=+证毕ad+a−αn例1.（09·江西·理·22）各项均为正数的数列{a},a=aa,=b,且对满足mn+=pq+的正数mnpq,,,都有n121a+aa+amnpq=.(1+a)(1+a)(1+a)(1+a)mnpq14(1)当a
4、=,b=时,求通项a;(2)略.n25am+anap+aqa1+ana2+an−1解:由=得=(1+a)(1+a)(1+a)(1+a)(1+a)(1+a)(1+a)(1+a)mnpq1n2n−1142a+1n−1将a=,b=代入上式化简得a=n25a+2n−12x+1考虑特征方程x=得特征根x=±1x+22a+1n−1−1a−1a+21a−1nn−1n−1所以==⋅a+12a+13a+1nn−1+1n−1a+2n−1⎧a−1⎫a−111所以数列n是以1为首项,公比为的等比数列⎨⎬=−⎩a+1⎭a+133n1nan−111n−11n3−1故=−⋅()=−()即a=nna+
5、13333+1n1*例2.已知数列{a}满足a=2,a=−2,n∈N,求通项a.n1nnan−11解:考虑特征方程x=−2得特征根x=1x111a1n−1====+1a−111a−1a−1n(2−)1−1−n−1n−1aan−1n−1⎧1⎫1所以数列⎨⎬是以=1为首项,公差为1的等差数列⎩a−1⎭a−1n11n+1故=n即a=na−1nna+2例3.已知数列{}n−1，求数列{}a满足a=2,a=(n≥2)a的通项an1nnn2a+1n−1x+22an+1−1an−1解：其特征方程为x=，化简得2x−=20，解得x=1,x=−1，令=⋅c122x+1a+1a+1n+1n
6、241由a=2,得a=，可得c=−，1253⎧a−1⎫1n−1nn∴na1−11an−11⎛1⎞3−−(1)数列⎨⎬是以=为首项，以−为公比的等比数列，∴=⋅−⎜⎟，∴an=nn⎩an+1⎭a1+133an+13⎝3⎠3+−(1)2an−1*例4.已知数列{}a满足a=2,a=(n∈N)，求数列{}a的通项an1n+1nn4a+6n21x−2111解：其特征方程为x=，即4x+4x+=10，解得x=x=−，令=+c124x+6211a+a+n+1n223由a=2,得a=，求得c=1，1214⎧⎫⎪1⎪12123∴数列⎨⎬是以=为首项，以1为公差的等差数列，∴=+(n−1
7、)1⋅=−n，115155⎪a+⎪a+a+n1n⎩2⎭22135−n∴a=n10n−6*2.已知数列{a}满足a=ca+ca②其中cc,为常数,且c≠0,n∈N.nn+21n+12n1222定义2:方程x=cxc1+2为②的特征方程,该方程的根称为数列{an}的特征根,记为λλ1,2.⎧a=bλ+bλnn11122定理3:若λ1≠λ2,则an=b11λ+b2λ2,其中bb1,2常数,且满足⎨22.⎩a=bλ+bλ21122⎧a=(b+b)λn112定理4:若λ1=λ2=λ,则an=(b1+bn2)λ,其中bb1,2常数,且满足⎨2.⎩a=
