2012年高考数学真题分类汇编E　不等式（理科）.doc

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1、E　不等式E1　不等式的概念与性质5．E1、E6[2012·福建卷]下列不等式一定成立的是(　　)A．lg＞lgx(x＞0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2

2、x

3、(x∈R)D.＞1(x∈R)5．C　[解析]本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件．对于A选项，当x＝时，lg＝lgx；所以A不一定正确；B命题，需要满足当sinx>0时，不等式成立，所以B也不正确；C命题显然正确；D命题不正确，∵x2＋1≥1，∴0<≤1，所以正确的是C.21．D1、D3、E1、M3[2012·重庆卷]设数列{an

4、}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.(1)求证：{an}是首项为1的等比数列；(2)若a2＞－1，求证：Sn≤(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．21．解：(1)证法一：由S2＝a2S1＋a1得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1.因a2≠0，故a1＝1，得＝a2.又由题设条件知Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1，两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，即an＋2＝a2an＋1，由a2≠0，知an＋1≠0，因此＝a2.综上，＝a2对所有n∈N*成立，从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．

5、证法二：用数学归纳法证明an＝a，n∈N*.当n＝1时，由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1，再由a2≠0，得a1＝1，所以结论成立．假设n＝k时，结论成立，即ak＝a，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(a2Sk＋a1)－(a2Sk－1＋a1)＝a2(Sk－Sk－1)＝a2ak＝a，这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．综上可得，对任意n∈N*，an＝a.因此{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．(2)当n＝1或2时，显然Sn＝(a1＋an)，等号成立．设n≥3，a2＞－1且a2≠0，由(1)知a1＝1，an＝a，

6、所以要证的不等式化为1＋a2＋a＋…＋a≤(1＋a)(n≥3)，即证：1＋a2＋a＋…＋a≤(1＋a)(n≥2)．当a2＝1时，上面不等式的等号成立．当－1＜a2＜1时，a－1与a－1(r＝1,2，…，n－1)同为负；当a2＞1时，a－1与a－1(r＝1,2，…，n－1)同为正．因此当a2＞－1且a2≠1时，总有(a－1)(a－1)＞0，即a＋a＜1＋a(r＝1,2，…，n－1)．上面不等式对r从1到n－1求和得2(a2＋a＋…＋a)＜(n－1)(1＋a)，由此可得1＋a2＋a＋…＋a＜(1＋a)．综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝

7、1,2或a2＝1时等号成立．证法二：当n＝1或2时，显然Sn≤(a1＋an)，等号成立．当a2＝1时，Sn＝n＝(a1＋an)，等号也成立．当a2≠1时，由(1)知Sn＝，an＝a，下证：＜(1＋a)(n≥3，a2＞－1且a2≠1)．当－1＜a2＜1时，上面不等式化为(n－2)a＋na2－na＜n－2(n≥3)．令f(a2)＝(n－2)a＋na2－na.当－1＜a2＜0时，1－a＞0，故f(a2)＝(n－2)a＋na2(1－a)＜(n－2)

8、a2

9、n＜n－2，即所要证的不等式成立．当0＜a2＜1时，对a2求导得f′(a2)＝n[(n－2)a－(n－1)a＋1]＝ng

10、(a2)．其中g(a2)＝(n－2)a－(n－1)a＋1，则g′(a2)＝(n－2)(n－1)(a2－1)a＜0，即g(a2)是(0,1)上的减函数，故g(a2)>g(1)＝0，从而f′(a2)＝ng(a2)>0，进而f(a2)是(0,1)上的增函数，因此f(a2)＜f(1)＝n－2，所要证的不等式成立．当a2＞1时，令b＝，则0＜b＜1，由已知的结论知＜，两边同时乘以a得所要证的不等式．综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．9．B11、B12、E1[2012·浙江卷]设a>0，b>0(　　)A．若2a＋2a

11、＝2b＋3b，则a>bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则abD．若2a－2a＝2b－3b，则a2b＋2b.构造函数：f(x)＝2x＋2x，则f(x)＝2x＋2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立，故A正确，B错误．其余选项用同样方法排除．7．D2、E1[2012·浙江卷]设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(　　)A．若d<0，则数列{S