数学分析讲解PPT数列极限说课讲解.ppt

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1、Chap2极限与连续古希腊Archimede—“穷竭法”；中国魏晋时代刘徽—“割圆术”；Newton—“雏形”，Cauchy，Bolzano，Weierstrass等“发展完善”。Chap2―1数列极限一、数列定义1函数f:NR称为数列，记为{xn}.即{xn＝f(n)},nN,或x1,x2,…xn,…①xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项。②几何意义：数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取例1讨论数列的单调性和有界性（n重根号）二、数列极限定义定义2设有数列{xn}.若存在常数A，使得>0,NN,当n>N时，

2、xnA

3、<，则称{xn}的

4、极限为A，或称{xn}收敛于A，记为若A不存在，则称数列{xn}无极限，或称为发散(不收敛)是用来刻划xn与A的接近程度。首先，具有任意性，说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，具有相对固定性，一旦给出，就固定这个再去找N。②N的存在性说明无论怎么小，第N项后的所有xn都满足

5、xnA

6、<，故不满足这种接近程度的xn仅仅有限项。③通常N具有依赖性，即N＝N()，但不具有唯一性。④几何意义注给定来找N似乎是解不等式，由于N虽然依赖于，但不唯一，因此只需要找一个N使得n>N成为的充分条件即可.这就是所谓的“适当放大法”.适当放大法：例7设数列{xn}对常数A

7、和00,使得nN有推论1无界数列必发散。推论2若数列定理3（不等式性）若即使将“xnyn”换为“xn>yn”,结论也不能改为“A>B”.推论4若推论3（保号性）若若将“A>0”换为“A<0”,则结论改为定理4（夹逼性）设数列{xn},{yn},{zn}满足条件例10.设求f(x)的表达式.四、数列极限的运算定义3若，则称数列为无穷小（量）。有限个无穷小量之和仍为无穷小；无穷小乘有界量仍为无穷小；有限个无穷小

8、之积仍为无穷小例11证明{xn}为无穷小的充要条件是{

9、xn

10、}为无穷小.定理4（极限与无穷小关系）数列{xn}收敛AR及无穷小量n使xn＝A+n.定理5若一个公式例12求极限思考定义4对数列,若则称数列为无穷大（量），记为无穷小，无穷大和无界的关系(A)无穷小.(B)无穷大.(C)有界的，但不是无穷小.(D)无界的，但不是无穷大.Stolz定理设{yn}严格增加，且.若则有(A可为).在存在的前提下有公式例如xn=(1)n，yn=n,则，但A＝时，结论未必成立！如xn=(1)n1n，yn=n,则但无极限.推论1若,则有推论2若an>0,且,则有推论3

11、若an>0,且,则有例14求极限Ex.求极限五、数列收敛准则1单调有界定理设数列{xn}单调增加.则当{xn}有上界时,{xn}收敛，当{xn}上无界时,{xn}为正无穷大，且均成立若{xn}为单调数列.则{xn}收敛{xn}有界.想一想数列{xn}单调减少时的情形？(n重根号),例15设例17证明数列e=2.7182818284…是自然对数的底(lnx=logex),是无理数.证明存在并求之.且{xn}单调增加收敛于e,{yn}单调下降收敛于e.例18设证明{cn}收敛.实际上,我们还有定义5数列{xn}中依次取出下标为n1

12、}的一个子列，记为①子列是k的函数，而不是n的函数。且②奇子列2归并性定理可用于判定数列发散。即若能找到{xn}的一个发散子列或两个极限不同的子列，就可断定{xn}发散.命题例19说明数列{(－1)n}发散。例20证明无界数列必有一子列为无穷大。定理6设{xn}为单调数列，A＋.则例21设证明当p>1时，{an}收敛；当p1时，{an}为正无穷大.3Cauchy收敛准则数列{xn}收敛的充要条件是：基本列(Cauchy列)满足上述必要性条件的数列！等价形式：否定形式：数列{xn}发散当且仅当问题：数列{xn}为基本列与pN有等价吗？例22设证明{xn}发散.

13、注此例中，对pN有例23设证明{xn}收敛.思考题如何求极限值