数学分析讲解PPT数列极限

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1、§.1数列极限一、数列定义1函数f:NR称为数列，记为{xn}.即{xn＝f(n)},nN,或x1,x2,…xn,…①xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项。②几何意义：数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取定义2设有数列{xn}.若存在常数A，使得>0,NN,当n>N时，

2、xnA

3、<，则称{xn}的极限为A，或称{xn}收敛于A，记为若A不存在，则称数列{xn}无极限，或称为发散(不收敛)是用来刻划xn与A的接近程度。首先，具有任意性，说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，具有相对固定性，一旦给出，就固定这个再去找N。②N

4、的存在性说明无论怎么小，第N项后的所有xn都满足

5、xnA

6、<，故不满足这种接近程度的xn仅仅有限项。③通常N具有依赖性，即N＝N()，但不具有唯一性。④几何意义注给定来找N似乎是解不等式，由于N虽然依赖于，但不唯一，因此只需要找一个N使得n>N成为的充分条件即可.这就是所谓的“适当放大法”.适当放大法：例7设数列{xn}对常数A和00,使得nN有推论1无界数列必发散。推论2若数列定理3（不等

7、式性）若即使将“xnyn”换为“xn>yn”,结论也不能改为“A>B”.推论4若推论3（保号性）若若将“A>0”换为“A<0”,则结论改为定理4（夹逼性）设数列{xn},{yn},{zn}满足条件例10.设求f(x)的表达式.四、数列极限的运算定义3若，则称数列为无穷小（量）。有限个无穷小量之和仍为无穷小；无穷小乘有界量仍为无穷小；有限个无穷小之积仍为无穷小例11证明{xn}为无穷小的充要条件是{

8、xn

9、}为无穷小.定理4（极限与无穷小关系）数列{xn}收敛AR及无穷小量n使xn＝A+n.定理5若定义4对数列,若则称数列为无穷大（量），记为无穷小，无穷大和

10、无界的关系(A)无穷小.(B)无穷大.(C)有界的，但不是无穷小.(D)无界的，但不是无穷大.Stolz定理设{yn}严格增加，且.若则有(A可为).在存在的前提下有公式例如xn=(1)n，yn=n,则，但A＝时，结论未必成立！如xn=(1)n1n，yn=n,则但无极限.推论1若,则有推论2若an>0,且,则有推论3若an>0,且,则有例14求极限Ex.求极限五、数列收敛准则1单调有界定理设数列{xn}单调增加.则当{xn}有上界时,{xn}收敛，当{xn}上无界时,{xn}为正无穷大，且均成立若{xn}为单调数列.则{xn}收敛{xn}有界.想一想数列

11、{xn}单调减少时的情形？例15证明数列e=2.7182818284…是自然对数的底(lnx=logex),是无理数.