大学线性代数课件：第三章 线性方程组第1节.ppt

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1、第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法1.线性方程组的概念线性方程组一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2…………………as1x1+as2x2+…+asnxn=bs(教材P.86,3.1.1)概念:齐次线性方程组解非齐次线性方程组第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法设A=a11a12…a1na21a22…a2n…………as1as2…asn,b=b1b2…bs,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x

2、1+a22x2+…a2nxn=b2…………………as1x1+as2x2+…+asnxn=bsAx=bx=x1x2…xn,解向量则未知量常数项§3.1线性方程组和Gauss消元法A=a11a12…a1na21a22…a2n…………as1as2…asn为(3.1.1)的系数矩阵[A,b]=a11a12…a1nb1a21a22…a2nb2……………as1as2…asnbs为(3.1.1)的增广矩阵第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法2.Gauss消元法:例2x13x2+4x3=4x

3、1+2x2x3=32x1+2x26x3=2x1+2x2x3=32x13x2+4x3=4x1+x23x3=1x1+2x2x3=3x2+2x3=2x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=20=01/21阶梯形第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法x15x3=1x2+2x3=20=0x1+2x2x3=3x2+2x3=20=0阶梯形(2)x1=5x3+1x2=2x32x3是自由未知量最简形或写成由此可得原方程组的

4、通解x=5c+12c2c,其中c为任意数第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法3.线性方程组的初等变换第三章线性方程组*对换变换*倍乘变换*倍加变换注:倍乘变换用非零的数去乘某一个方程§3.1线性方程组和Gauss消元法4.同解的线性方程组性质第三章线性方程组例题:教材P.88,例3.1教材P.89,例3.2教材P.90,例3.3线性方程组有解判定条件§3.1线性方程组和Gauss消元法例.线性方程组的形状与此方程组解的数目:2x1+3x2x3=12x2+x3=20=1x1x

5、2+2x3=82x2+x3=1x3=5x1+2x2+x3+x4=2x3+4x4=30=0无解有唯一解有无数解231102120001112802110015121120014300000解的数目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法例.设线性方程组讨论取何值时,此线性方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.解:对其增广矩阵[A,b]作初等行变换,化为阶梯形,第三章线性方程组§3.1线性方程组和Ga

6、uss消元法1+11011+13111+[A,b]=111+11+131+110(1)111+031+110111+030(2+)(1+)(1)111+0300(3+)(1)(3+)1第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法111+0300(3+)(1)(3+)(1)当0且3时,方程组有唯一解;(2)当=0时,方程组无解;(3)当=3时,方程组

7、有无穷多解.因为此时111+0300(3+)(1)(3+)112303360000=112301120000101101120000(1)()13第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法101101120000或,令x3=c,x1x2x3(其中,c为任意实数).111=c120+因而原方程组的通解为x1=x31x2=x32x3是自由未知量原方程组同解于x1x3=1x2x3=2第三章线性方程组