同济大学线性代数课件__第三章矩阵的初等变换线性方程组.ppt

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1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组9/15/20211§1矩阵的初等变换引例求解线性方程组9/15/20212用消元法9/15/202139/15/20214令代入方程组，得解9/15/20215消元法的三类变换：（1）对调二个方程的次序；（2）以非零的数k乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．由于三类变换都是可逆的，因此变换前的方程组与变换后是同解的．9/15/20216定义1：下面三类变换称为矩阵的初等行变换:同样可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成“c”)．初等行变换和初等列变换统称初等变换。9/15/20217三类初等变换都是可逆的，

2、并且其逆变换是同一类的初等变换。9/15/20218若矩阵A经过有限次初等变换变成B，则称A与B等价，记作A～B.矩阵的等价关系满足：反身性A～A；对称性若A～B，则B～A；传递性若A～B，B～C，则A～C。9/15/20219(1)的增广矩阵线性方程组9/15/2021109/15/202111行阶梯形9/15/202112行最简形令9/15/202113等价标准形9/15/202114任一m×n矩阵A都等价于一个如下的矩阵称为A的等价标准形。9/15/202115§2初等矩阵定义2：由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵。三类初等变换与三类初

3、等方阵相对应9/15/2021169/15/2021179/15/2021189/15/202119三类初等矩阵：其中9/15/202120三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置矩阵都是同一类的初等矩阵。9/15/202121定理1：设A为m×n矩阵，则9/15/2021229/15/202123方阵A可逆的充要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。定理2：证明：充分性.必要性.9/15/202124方阵A可逆的充要条件是A~E推论1：推论2：m×n阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得PAQ=B注意到可逆阵可表示为若干个初等

4、阵的乘积。9/15/202125例.9/15/202126即9/15/202127解：例：9/15/2021289/15/2021299/15/202130例：解：初等行变换9/15/2021319/15/2021329/15/202133§3矩阵的秩定义3：在矩阵A中，任取k行、k列所得的k2个元素不改变它们的相对位置而得的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。A的一个2阶子式：9/15/202134定义4：矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为A的秩，记作R(A)。例4.求矩阵A和B的秩,其中9/15/2021352阶子式3阶子式

5、A

6、=03阶子式4阶子式都=

7、0∴R(A)=2∴R(B)=39/15/202136定理3若A~B,则R(A)=R(B).事实上，若A经过一次初等变换变为B，A的k阶子式全等于零,则B的k阶子式也全等于零。9/15/202137性质1.若A的所有r阶子式(如果有)全等于零，则阶数大于r的所有子式全等于零。若A的所有k阶子式全等于零,则R(A)

8、注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它的秩至多减少一。将C1看成一个n阶矩阵划去了n-r1行,n-r2列，于是有9/15/202141§3线性方程组的解9/15/202142化为行最简形矩阵不妨假定9/15/202143(#)9/15/202144(1)若，则(#)无解。(2)若则(#)有解，并且当时，有唯一解。时，有无穷多解。9/15/202145非齐次性线性方程组解的条件定理4：非齐次线性方程组有解的充要当时，有唯一解；当时，有无穷多解。条件是，并且9/15/202146例10：求解线性方程组解：9/15/202147可知方程组无解。9/15/202

9、148例11：求解线性方程组解：9/15/2021499/15/202150得令故9/15/2021519/15/202152齐次性线性方程组解的条件定理6：齐次线性方程组有非零解的充要条件是9/15/202153例9：求解齐次线性方程组解：9/15/2021549/15/2021559/15/202156矩阵方程有解的条件定理6：矩阵方程有解的充要条件是9/15/202157定理9：矩阵方程有非零解充要条件是有非零解的有非零解9/15/202158线性代数答疑辅导时间:每周二12:20到13:20地点:(数学系)致远楼102室9/15/202159