高中数学复合函数练习题.pdf

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1、第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域思路：设函数f(x)的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fg(x)的定义域。例1.设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。解析：函数

2、f(u)的定义域为（0，1）即u(0，1)，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以0lnx1解得x(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）f(x)1ff(x)例2.若函数，则函数的定义域为______________。x1f(x)1x1xR

3、x1解析：由，知即f的作用范围为，又f对f(x)作用所以x1f(x)R且f(x)1ff(x)x1xR

4、x1且x2，即中x应满足f(x)1（2）、已知fg(x)的定义域，求f(x)

5、的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xE，E为f(x)的定义域。例3.已知f(32x)的定义域为x1，2，则函数f(x)的定义域为_________。解析：f(32x)的定义域为1，2，即x1，2，由此得32x1，5即函数f(x)的定义域为1，5例4.已知x2，则函数f(x)的定义域为______________。f(x24)lgx28x2x2解析：先求f的作用范围，由f(x24)l

6、g，知0f(x)的定义域为x28x28(4，)（3）、已知fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)E，解得xF，F为fh(x)的定义域。例5.若函数f(2x)的定义域为1，1，则f(log2x)的定义域为____________。f(21，1x1，11解析：x)的定义域为，即，由此得2x，2211f的作用范围为，2又f对lo

7、g2x作用，所以log2x，2，解得x2，422即f(logx)的定义域为2，42（二）同步练习：f(x)[0,1]f(x2)[1,1]1、已知函数的定义域为，求函数的定义域。答案：f(32x)[3,3]f(x)[3,9]2、已知函数的定义域为，求的定义域。答案：13(,0)(1,)yf(x2)(1,0)f(

8、2x1

9、)23、已知函数的定义域为，求的定义域。答案：2三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b）上是减函数，其值域为(c，d)

10、，又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.证明：在区间(a,b）内任取两个数x,x，使axxb1212因为ug(x)在区间(a,b）上是减函数，所以g(x)g(x),记ug(x),ug(x)121122即uu且u,u(c,d)12,12因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u)f(u),即f(g(x))f(g(x))，1212故函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.（2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性

11、是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：增↗减↘yf(u)增↗减↘增↗减↘ug(x)增↗减↘减↘增↗yf(g(x))以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数yf(g(x))的单调性判断步骤：ⅰ确定函数的定义域；ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：yf(u)与ug(x)。ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函

12、数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为减函数。（4）例题演练例1、求函数ylog(x22x3)的单调区间，并用单调定义给予证明12解：定义域x22x30x3或x1。单调减区间是(3,)设x,x(3,)且xx则ylog(x2