二重积分的计算小结.doc

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1、二重积分的计算小结一、知识要点回顾1．二重积分的定义；2.二重积分的几何意义及其物理模型。二重积分的几何意义就是以为底，以为顶的曲顶柱体的体积，其物理模型就是一个曲顶柱体。3.二重积分在直角坐标系下的计算（1）若积分区域D是由两条直线x=a,x=b,以及两条曲线y=1(x),y=2(x)(1(x)2(x),axb)所围成，则=（2）若区域D是由两条直线y=c,y=d以及两条曲线x=1(y),x=2(y)(1(y)2(y),cyd)所围成，则4.极坐标下二重积分的计算法x=,y=如果区域D是由从极点出发的两条射线，（）和两条曲线（）所围成，则5．曲线坐标下二重积分

2、的计算法设函数在直角坐标平面上的封闭区域上连续，有一阶连续偏导数，而且雅克比行列式则二．二重积分的计算举例图41.．计算二重积分，其中为由直线与曲线所围成的区域．解：画出积分域如图所示解方程组解得图中的两个交点为，可表示为D=，于是2.计算二重积分的值，其中积分区域为。解：由对称性可以只考虑第一象限的积分域采用极坐标。则积分区域变为}于是3，计算二重积分的值的大小，其中D是由轴，轴以及x+y=2所围成的封闭区域。解：如图1，由题意，可设则可得，图1图2所以积分区域变为图2中的封闭区域，从而所以图64．设，求，其中。解：积分区域为圆以外的部分设图中阴影区域为D0=

3、于是5．计算二次积分．分析若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求的原函数的问题，它是无法计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法．解由所给的二次积分，我们得积分区域，其中xOyRD1D2图5是一个中心角为，半径为的扇形（图5）．因此可以采用极坐标计算，在极坐标系下，有因此小结㈠计算在直角坐标系下二重积分的值的过程中，应正确选择积分的形式，是先对X积分还是先对Y积分，选择正确的积分形式可以提高解题的效率和准确度。㈡计算极坐标系下二重积分值的步骤：①首先把积分区域的边界方程用极坐标表示；②确定的范围，即在极坐标系下表示积分

4、区域；③用分别代换被积函数中的，并把面积元素用替代．㈢计算二重积分时，要注意利用积分区域关于坐标轴的对称性，同时被积函数关于某相应变量的奇偶性简化运算．．